Desigualdad de Jensen: cuando más significa menos y viceversa

Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859-1925) más conocido como Johan Jensen, fue un ingeniero danés apasionado de las matemáticas que ha pasado a la historia por ser el primero en interesarse por un fenómeno característico de las funciones continuas no lineales (convexas o cóncavas), conocido hoy como “Desigualdad de Jensen”, una propiedad que aparece en múltiples contextos y que de pocos años para acá ha comenzado a encontrar aplicaciones interesantes, desde el ámbito financiero al campo sanitario y otros por descubrir. En lo que sigue me he basado en el excelente libro “Antifrágil” de Nassim Nicholas Taleb y otros documentos disponibles en la red para realizar una aproximación didáctica y a la vez divertida de esta interesante propiedad de las funciones no lineales.

Se suele decir que de niños aprendimos fácilmente lo que es una función lineal: cuando existe proporcionalidad entre “algo” (p.ej. la fuerza con la que lanzamos a ras de suelo una bola de billar o de bowling) y la “función de ese algo” (p.ej. la distancia que alcanza la bola), funciones que aprendimos a calcular y a representar como una recta en el sistema de coordenadas inventado por un señor francés llamado René Descartes y que en un esfuerzo de reduccionismo creímos o nos hicieron creer que todo lo que sucedía en el mundo podría entenderse aplicando linealidades escolares, o haciendo algo más sofisticado como simplificar las ecuaciones hasta hacerlas lineales. Toda una generación, la de nuestros padres, que como mucho inferían las cosas aplicando la simple regla de tres, todo un paradigma de la linealidad.

Tal vez por esa razón nos cuesta mucho más aprender las funciones no lineales, ya sabe, aquellas donde no hay proporcionalidad y la representación en el sistema de coordenadas de ese señor francés tan simpático no sea una línea recta sino algo más difícil de dibujar, una parábola, esto es cuando, siguiendo el ejemplo del balón, no existe proporcionalidad entre “algo” (p.ej. la fuerza con la que pegamos un puntapié a una pelota hacia arriba) y la “función de ese algo” (p.ej. la distancia que alcanza la pelota, sometida entonces a otras consideraciones como el ángulo de la trayectoria vertical u otras más sutiles como la resistencia del viento, etc.), es decir, puede ser suficiente incorporar una dimensión adicional (en este caso la inclinación o la altura) para que el mismo esfuerzo (el impulso a la pelota) tenga un resultado (en este caso la distancia) distinto.

La cosa se complica aún más cuando hablamos de cosas más reales y cotidianas como, por ejemplo, la recientemente comentada relación no proporcional (no lineal) entre la inversión en educación y el ranking del Informe PISA 2012 revelan algo inquietante para una mente lineal: “Los resultados de España son inferiores a los que se esperarían en función de su PIB per cápita”. Es decir, a igualdad de “algo” (PIB per cápita) otros países obtienen mejor rendimiento en las pruebas de PISA, es decir, España obtiene menos de la “función de ese algo” que cabría esperar. ¿Por qué?. Pues porque la realidad es no lineal por naturaleza. Así, en el caso concreto del Informe PISA 2012 se nos recuerda algo obvio desde el punto de vista no lineal: “Es importante cómo se gasta y no cuánto se gasta”. Otra vez nos encontramos con una limitación de la mente lineal, que no suele entender estas “sutilezas” de la realidad.

Otro ejemplo: A los portavoces del gobierno español últimamente les ha dado por repetir hasta la saciedad que hay que “redoblar esfuerzos” para salir de la crisis: todo un canto a la política de austeridad, un tópico de los últimos discursos políticos (más de 600.000 referencias en Google). En lenguaje matemático: si sustituimos la variable independiente (x) por “esfuerzo” y la variable dependiente f(x) por “resultado”, así x = esfuerzo y f(x) = resultado, es decir, cuando nos dicen “hay que redoblar el esfuerzo” están diciendo que hay que “hacer más esfuerzo, doblarlo, insistir en ello (en la misma dirección, en la misma política)”... o sea, “más de x”... ¿para qué?... eso no lo dicen pero es de suponer que es para “alcanzar un mayor y mejor resultado”... o sea, “más de f(x)”... pues (siguiendo con su lógica lineal) dado que los resultados todavía son pobres, si aumentamos los esfuerzos (la política de recortes) los resultados mejorarán (habrá más crecimiento y empleo)... y ahí es donde tropieza la falacia de una mente lineal... y es lo que estoy criticando, que la realidad no se comporta de manera lineal.

En un sistema lineal tiene su lógica, dado que a “+ de x” = “+ de f(x)”. Sin embargo, en un sistema no lineal (los que abundan en la realidad y en la Economía: curva de demanda, curva de oferta, curva de Laffer, curva de Phillips, curva de Engel, trampa de liquidez, ley de los rendimientos decrecientes, etc.) es incierto, porque “+ de x” no siempre significa “+ de f(x)”, como veremos a continuación. Y es que confundir las propiedades de la variable dependiente con las de la variable independiente es típico de políticos de mentalidad lineal. He aquí una simple pregunta para desenmascarar a los políticos que no ven más allá de la regla de tres: ¿doblar el esfuerzo implica doblar el resultado?... para los políticos que no lo entienden espero que cuando su médico les diga que se tomen una pastilla para dormir bien o una dosis de antibiótico para combatir una infección no se tomen doble ración por su cuenta esperando con ese proceder “el doble del resultado”... a lo mejor por ahí sí que entienden el mensaje de la no linealidad [1].

La Desigualdad de Jensen viene a ser la clave de bóveda que nos permite entender mejor las propiedades no lineales de la naturaleza. De manera informal, podemos definir esta desigualdad así: cuando la relación que liga una variable dependiente “y” (o variable efecto) con una variable independiente “x” (o variable causa) no es lineal, se cumple siempre que el valor esperado de “y” correspondiente al promedio de “x” es diferente (mayor o menor, según la forma de la función: cóncava o convexa) del promedio de los valores observados de “y”. Digámoslo de manera más informal: cuando no existe una relación de proporcionalidad entre dos variables, el promedio de la que se comporta como efecto resultará subestimado o sobreestimado si lo obtenemos a partir del promedio de la variable que funciona como causa. En otras palabras, es casi seguro que nos equivocaremos cuando estimemos el valor de la variable dependiente a partir de la variable independiente.

¿Y de dónde proviene esa subestimación o sobreestimación?. Pues proviene de nuestra habitual mente lineal, acostumbrada a la fácil extrapolación de la regla de tres (un poco de más aquí, es un poco de más allá; un poco de menos aquí, es un poco de menos allá), donde damos por supuesto que el comportamiento de la función va a ser equivalente, independientemente de que se trate de una función lineal o no lineal.

Veamos gráficamente las diferencias entre una función lineal y otras funciones no lineales para encontrar el fallo de nuestra forma de pensar. Comenzamos pues con una sencilla función lineal, donde veremos que en ellas si es cierto que la función del promedio de la variable (x) es igual a la media de la función (y), como muestra por ejemplo y=f(x)=2x

En este caso, la función del promedio de la variable (5,5) es 11, que es igual a la media de la función (11), como se puede ver en el ejemplo de la Excel que acompaña este post. Sin embargo cuando la función no es lineal, la cosa ya no es tan trivial, pues en una función no lineal (cóncava o convexa) la función de la media de una variable no es igual a la media de la función.

Así, si la función no lineal es convexa (forma de sonrisa), la función de la media de la variable será menor a la media de la función, o al revés, la media de la función será mayor que la función de la media de esa variable, como muestra por ejemplo y=f(x)=x²

En este caso, la función del promedio de la variable (5,5) es 30,25 mientras que la media de la función es 38,5. Es decir, si hubiéramos estimado el resultado promedio de la función a partir de la función del promedio de la variable nos habríamos equivocado en más de un 27% de error como se puede ver en el ejemplo de la Excel que acompaña este post. Mientras que si la función no lineal es cóncava (forma de puchero), la función de la media de la variable será mayor a la media de la función, o viceversa, como muestra por ejemplo y= f(x)=√(x) si bien esta es una función sólo ligeramente cóncava.

En este caso, la función del promedio de la variable (5,5) es 2,35 mientras que la media de la función es 2,25. Es decir, si hubiéramos estimado el resultado promedio de la función a partir de la función del promedio de la variable nos habríamos equivocado en más de un 4% de error como se puede ver en el ejemplo de la Excel que acompaña este post.

¿Qué implicaciones tiene la Desigualdad de Jensen?. Me atrevería decir que muchas y variadas. Tal vez la más importante sea aprender a reconocer dos sesgos típicos de convexidad (o concavidad): confundir la media de algo (p.ej. la fuerza con la que empujamos algo, el esfuerzo en perseguir un resultado, etc.), con la función de ese algo (p.ej. la distancia a la que se desplaza ese algo, el resultado de un esfuerzo), o también, el sesgo más sutil: confundir la función de la media con la media de una función... pues, como hemos visto, ante una función convexa nos podemos encontrar con la sorpresa de que al intentar estimar el resultado promedio a partir de la función de la media estemos subestimando el resultado y, viceversa, cuando estamos ante una función cóncava (convexidad negativa) nos encontraremos con la sorpresa de estar sobreestimando el resultado promedio a partir de la función de la media.

Otra implicación importante es la consideración estratégica, es decir, preguntarse por ¿qué pasará con la variable efecto si aumenta la variable causa (la variable que hasta cierto punto podemos controlar)?: si la respuesta es una aceleración positiva, entonces estamos ante una función convexa (suponiendo una función monótona en el intervalo estudiado), lo que implica un cierto “efecto palanca”, esto es, que podemos conseguir más de f(x) con menos esfuerzo de (x) y para ello deberíamos buscar los puntos de apalancamiento donde con menos esfuerzo se alcance un mayor resultado; mientras que si la respuesta es una aceleración negativa, entonces estamos ante una función cóncava (suponiendo monotonía) y en consecuencia deberíamos plantearnos un cambio, bien minimizando la variable causa (x) o bien, si esto no es posible por ser (x) una variable que escapa a nuestro control (exógena), entonces reducir o evitar nuestra exposición a los estados no deseables de f(x).

En conclusión, y volviendo al Informe PISA o al mantra del “redoble de esfuerzos” de nuestros políticos, la Desigualdad de Jensen nos recuerda que cuando el más de lo mismo no conduce a un mejor resultado (en lo personal, en lo empresarial, en lo político) es porque estamos ante una realidad no lineal y por tanto es el momento de realizar cambios cualitativos, pasando del cuánto (hacer más) al cómo (hacer diferente).

Como ya hice anteriormente con la ecuación logística, el modelo Lotka-Volterra y la inecuación de Gott para realizar simulaciones y observar el comportamiento del modelo nada mejor que un ejemplo basado en Excel. A practicar pues: Desigualdad de Jensen en Excel


[1] Desde un punto de vista sistémico, una relación lineal entre dos variables es una “rara avis” en la naturaleza, algo posiblemente único que sólo puede darse en un ambiente artificial, en un entorno controlado o aislado, es decir, en un sistema cerrado, sea real o por lo general abstracto. Sin embargo, en un sistema abierto como en la naturaleza o en la economía, lo habitual es encontrarse con relaciones no lineales, donde la intervención de más variables adicionales que interactúan con las variables estudiadas y/o de fenómenos de retroalimentación entre la (mal) llamada “variable causa” y la (mal) llamada “variable efecto” (en la retroalimentación, causa y efecto son indistinguibles, véase por ejemplo Ecuación Lotka-Volterra), generan esa percepción de no proporcionalidad entre la variable causa y la variable efecto escogidas de entre las muchas posibles. En otras palabras, es nuestro afán reduccionista, simplista, el que al abordar la complejidad del mundo escogiendo dos únicas variables observadas en lugar de todas las posibles y su calificación de causa (variable independiente) y efecto (variable dependiente) el que propicia la percepción de “extrañeza” por la no linealidad.

Para saber más: Johan Jensen en Wikipedia (inglés)

Biografía de Johan Jensen (inglés)

Desigualdad de Jensen en Wikipedia

Desigualdad de Jensen en Encyclopedia of Math (inglés)

Desigualdad de Jensen en Math World (inglés)

Función no Lineal en Wikipedia

No Linealidad en Wikipedia

Función convexa en Wikipedia

Función cóncava en Wikipedia

Esperanza Matemática en Wikipedia

El problema de la media, el problema con la media

Desigualdades

¿Cuánto tiempo dura algo?. De la inecuación de Gott al efecto Lindy

El III Reich decía de sí mismo que iba a gobernar Alemania durante 1.000 años... apenas duró 12 años (1933-1945). El partido de la UCD en España decía de sí mismo que iba a gobernar durante 100 años... apenas duró 5 años (1977-1982). Al parecer los humanos somos muy buenos calculando la esperanza de vida de una persona en base a su sexo y edad mediante las tablas actuariales, pero un poco torpes para estimar la duración de otras cosas. ¿O no?.

Inecuación de Gott

Cuando el matemático y astrofísico John Richard Gott se encontraba ante el Muro de Berlín en 1969, intentó estimar la duración probable del Muro basándose en un solo dato, el tiempo transcurrido hasta ese momento, 8 años (1961-1969) y en base al principio atribuido a Copérnico (los humanos no somos observadores privilegiados del universo), re-elaborado posteriormente como “principio de mediocridad” que viene a decir que cualquier cosa seleccionada al azar que observemos en un momento determinado no estará ni al comienzo ni al final de su vida: lo más probable es que esté en algún punto alrededor de la mitad de su vida. Armado con esta presunción y un mínimo aparataje matemático, Gott se atrevió a calcular que con una fiabilidad del 50%, al Muro de Berlín le quedasen (en 1969) menos de 24 años de existencia (exactamente entre 2,67 y 24 años adicionales). Como ustedes saben, el Muro de Berlín fue derribado en 1989, es decir, veinte años después de la profecía matemática de Gott.

No obstante y tras este éxito, su argumento fue tildado de incompleto, así que lo volvió a someter a contraste empírico. En concreto, Gott elaboró una lista de los 44 espectáculos que había en la cartelera de Broadway un día determinado, el 17 de Mayo de 1993, y predijo que los que llevaban más tiempo en representándose serían los que durarían más tiempo en cartel, y viceversa. Su predicción se demostró correcta en un 95% de los casos.

El problema al que se enfrenta este tipo de predicciones, como la propuesta por Richard Gott o como la que veremos después con el llamado efecto Lindy, desafía el sentido común, pues al común de los mortales nos podría parecer insuficiente o temerario que con apenas el conocimiento de una variable (el tiempo transcurrido) y un coeficiente nos atrevamos a realizar la estimación de la duración de casi cualquier cosa. Ni que decir tiene que el problema tiene su enjundia a un nivel fundamental, pues no pasaría de ser un divertimento matemático si no fuera porque, a mi entender, el enfoque abordado por Gott revela algo profundo sobre nuestra manera de comprender la función de probabilidad en la duración de las creaciones humanas para entrar de lleno en el campo de la metamatemática.

Gráficamente el problema de la estimación de casi cualquier cosa se podría representar de este modo:

En donde partiendo de un único dato, el tiempo transcurrido desde el inicio de algo y el tiempo presente podemos estimar el tiempo adicional o restante de ese algo.

Un cálculo ciertamente atrevido.

El enfoque de Richard Gott está basado en la aplicación de la presunción copernicana antes comentada: el momento presente de la vida de ese algo no es excepcional, es decir, no está situado ni al inicio ni al final de la vida de ese algo, un principio que proviene del ámbito de la astronomía, pero que Gott se atrevió a aplicar al ámbito de lo cotidiano. Conociendo por tanto el tiempo transcurrido sólo nos resta aplicar un coeficiente, que en el caso de la inecuación Gott se conoce como factor de fiabilidad, que podríamos entender como probabilidad de la estimación, entendiendo que a menor probabilidad más error aunque menor variabilidad (mayor precisión) y a mayor probabilidad menor error aunque mayor variabilidad (menor precisión), entendiendo por variabilidad la diferencia entre la estimación mínima y la máxima. Nota: 100 - fiabilidad = probabilidad de error.

Otra manera de entenderlo sería que cuanta menos fiabilidad correspondería un rango de solución más estrecho (F < 50%), es decir, más precisión pero más probabilidad de error y cuanta más fiabilidad correspondería un rango de solución más amplio (F > 50%), es decir menos precisión aunque menos probabilidad de error. Una recomendación al operar con la fórmula propuesta por Richard Gott es comenzar usando una probabilidad del 50% que es justo la que solía utilizar su autor.

La conocida como inecuación de Gott es de una elegante sencillez.

Para operar con la inecuación de Gott podemos estimar casi cualquier cosa, preferentemente de carácter no orgánico (tecnología, conceptos, construcciones humanas, etc.) aunque a modo de curiosidad podemos calcular otras cosas menos típicas. Al final de este post incluyo una Hoja Excel para simular el funcionamiento tanto de la inecuación de Gott como el efecto Lindy, así como visualizar gráficos de sus resultados con distintos valores de los coeficientes (ejemplo de tiempo base: 10 años).

Como podemos observar a medida que incrementamos el factor de fiabilidad, el tiempo mínimo adicional tiende a cero y el tiempo máximo adicional tiende a infinito. De este modo podríamos afirmar que cuanta mayor fiabilidad queramos obtener, más amplio será el rango del resultado y viceversa, dándose una imposibilidad similar a la que encontramos en el principio de incertidumbre de Heisenberg: no podemos obtener a la vez la máxima precisión (menor variabilidad) y el mínimo error (mayor probabilidad de acierto): si no queremos cometer un error en el pronóstico deberemos sacrificar la precisión y viceversa. Ni que decir tiene que una fiabilidad del 100% implica, en consecuencia, un rango infinito de solución, por lo que en consecuencia nos conformaremos con fiabilidades algo menores para no hacer inservible el resultado. Lógicamente la inecuación de Gott no es algo infalible, es solamente una aproximación sencilla (aunque profunda) a un problema complejo partiendo de muy poca información.

Efecto Lindy

En esto que el 13 de Junio de 1964 se publicó un artículo en la revista estadounidense The New Republic en el que un tal Lindy escribió a propósito de la ajetreada vida de los actores cómicos: “Las expectativas de futuro de la carrera profesional de un actor cómico televisivo son proporcionales a la cantidad total de su presencia previa en el medio”. Este comentario, bastante intuitivo, escrito a vuela pluma y en la línea del conocido dicho El ganador se lo lleva todo vino en llamarse efecto Lindy, una heurística que autores como Benoît Mandelbrot y Nassim Nicholas Taleb han recogido en alguna de sus obras.

Siguiendo la interpretación del efecto Lindy en Taleb (Antifrágil): Para lo perecedero, cada día adicional de vida se traduce en una esperanza de vida adicional más corta. Para lo imperecedero, cada día adicional puede suponer una esperanza de vida más larga.

Así pues, cuanto más prolongada haya sido la supervivencia de una tecnología, un concepto o una construcción humana, mayor será el periodo de tiempo que podemos esperar que continúe existiendo. Como sugiere Taleb: Si un libro lleva publicándose cuarenta años, puedo confiar en que se sigan imprimiendo nuevas ediciones otros cuarenta años más. Otro ejemplo (tomado del estadístico John D Cook): Hemos escuchado a Beethoven durante más de doscientos años, a los Beatles durante cuatro décadas, y a Beyoncé durante aproximadamente una década, lo que implica que podríamos razonablemente esperar que la fama de Beyoncé dure aproximadamente otra década, mientras que los Beatles se puede esperar que mantengan su vigencia al menos otros cuarenta años, y que Beethoven permanezca sin caer en la oscuridad durante al menos doscientos años más.

Otro ejemplo, la gran pirámide de Guiza (2.570 años A.C.) es muy probable que sobreviva a muchas construcciones humanas del siglo XX o XXI, pues, de algún modo se puede afirmar con rotundidad que así como la pirámide ha demostrado que ha sobrevivido más de 4,5 mil años, otras cosas construidas durante el siglo XX o XXI aún tienen por demostrar esa durabilidad. Por tanto, hablando en términos de probabilidades, no de verdades absolutas, algo que se haya mantenido durante muchos años incrementa sus posibilidades de permanecer durante otros muchos. Y por el contrario, una obra o una tecnología es más vulnerable y susceptible de desaparecer durante sus primeros años de vida.

Por expresarlo de forma simple, esto nos dice que lo que lleva existiendo ya mucho tiempo no “envejece” como lo hacen las personas, sino a la inversa, es decir, sumándose tiempo restante de vida: cada año que pasa sin extinguirse, se duplica su esperanza de vida adicional de ese objeto, concepto o tecnología. Es decir, al contrario que en un ser vivo, en el que cuanto mayor es su tiempo de vida, menor es su expectativa de vida, en un producto informacional, un concepto, una construcción o una tecnología, cuanto más tiempo persiste, más probabilidades tiene de seguir persistiendo, y por tanto, la robustez es proporcional a la duración de su vida.

Como habrá podido deducir, el enfoque del efecto Lindy es distinto al de la inecuación de Gott, y a diferencia de este no ofrece un rango de solución (mínimo y máximo) y el coeficiente no se expresa como una probabilidad sino como un coeficiente de proporcionalidad que regula el espesor de la distribución, partiendo de la condición C > 1 (el resultado es una curva asíntota similar a la distribución de Pareto), de tal modo que para valores del coeficiente de proporcionalidad cercanos al valor 1, la expectativa de vida se eleva exponencialmente, mientras que a medida que se acerca al valor 2, la vida esperada se aproxima a la existencia pasada (con C = 2 la esperanza de vida es igual a la existencia previa) y a valores superiores a 2, la vida esperada se reduce con tendencia a cero.

Otra manera de entenderlo sería que para calcular la esperanza de vida de las cosas menos perecederas les correspondería un rango de valores con el coeficiente de proporcionalidad de 1 < C < 2 y para las cosas más perecederas les correspondería un rango con C > 2. Una recomendación al operar con la fórmula del efecto Lindy es aplicar un coeficiente próximo a 1 (hacia la izquierda de la tabla Excel adjunta) para aquellos entes u objetos con mayor antigüedad y un coeficiente próximo a 2 o superior (hacia la derecha) para los entes u objetos con menor antigüedad y observar el comportamiento del modelo en todo el rango 1 < C < 3.

La conocida como adaptación de Mandelbrot al efecto Lindy es también de una elegante sencillez.

Como podemos observar a medida que incrementamos el coeficiente de proporcionalidad, el tiempo adicional esperado tiende a cero y, viceversa, cuanto más próximo a 1 (pero nunca igual a 1) más elevado es el tiempo adicional esperado (algo en principio más probable en aquellas cosas con mayor antigüedad o menos perecederas). De este modo podríamos afirmar que cuanto más perecedero consideremos al objeto o ente en cuestión, más será de aplicación un coeficiente próximo a 2 o superior y cuanto menos perecedero más será de aplicación un coeficiente inferior a 2.

Como ya hice anteriormente con la ecuación logística y el modelo Lotka-Volterra para realizar simulaciones y observar el comportamiento del modelo nada mejor que un ejemplo basado en Excel. A practicar pues: Inecuación de Gott y Efecto Lindy en Excel

Para saber más: Principio de Mediocridad en Wikipedia

John Richard Gott en Wikipedia

El Argumento del juicio final

El efecto Lindy: cuanto más tiempo sobrevive una tecnología, más tiempo va a sobrevivir

The Lindy effect

Beethoven, Beatles, and Beyoncé: more on the Lindy effect

Dependencia a largo plazo: del Nilo a los mercados financieros

El pasado verano, con algo más de tiempo en mi haber, emprendí la lectura de varias obras relacionadas con la economía financiera y la física, disciplinas que tenía algo olvidadas. Reconozco que siempre me ha fascinado la relación entre la matemática y la economía, y la menos obvia entre física y economía, aunque en esta ocasión no quería ir por los caminos trillados, sino conocer el punto de vista de los llamados heterodoxos. Entre mis matemáticos preferidos se encuentra Benoît Mandelbrot, el reconocido pionero de la llamada Geometría Fractal. Mandelbrot, que falleció hace dos años y medio, hizo grandes aportaciones al conocimiento matemático de la realidad física y también, aunque menos conocida, es su contribución al conocimiento del funcionamiento real de los mercados financieros. En su obra, escrita en colaboración con Richard L. Hudson, Fractales y Finanzas. Una aproximación matemática a los mercados: arriesgar, perder y ganar desmenuza la matemática convencional aplicada a la economía financiera desde tiempos de Louis Bachelier y realiza un diagnóstico certero de las insuficiencias de la base estadística en la que se fundamenta: la distribución normal o campana de Gauss y la consecuente presunción de que los riesgos financieros pueden ser acotados.

En la referida obra de Mandelbrot se encuentra un apasionado y apasionante relato del descubrimiento del Exponente de Hurst, en honor a Harold Edwin Hurst, hidrólogo británico cuya investigación le puso a Mandelbrot sobre la pista que necesitaba para el desarrollo de su análisis R/S, fundamental para el estudio de la dependencia a largo plazo, un concepto que más allá de la interesante matemática subyacente resulta de lo más sutil y, porque no decirlo, cautivador e inquietante por sus profundas implicaciones que, considero, abre una reflexión de calado sobre las consecuencias futuras de la presente crisis sistémica, unas consecuencias que se atisban importantes y que a tenor de este concepto de dependencia a largo plazo, creo que van a reverberar en la economía mundial y en el modo de hacer las cosas en las próximas décadas: ¿Hasta qué punto la situación económica y financiera es resultado de unos hechos alejados en el tiempo? ¿Cuándo consideramos que el pasado ya no influye en el presente? ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que no exista dependencia con el pasado?. Estas y otras preguntas son las que están en la base del Exponente de Hurst, una herramienta matemática muy interesante para analizar el peso del pasado en nuestro presente y a la vez un hermoso isomorfismo sistémico-hidrológico que hunde sus raíces en el origen de la civilización. Pues bien, volviendo al relato de Mandelbrot, me sentí atrapado por el proceso de investigación de Hurst, y a falta de una película que rindiera culto a su descubrimiento me dije qué mejor que trasladar al blog algunos de los pasajes clave de ese descubrimiento tal y como lo cuenta Mandelbrot en su libro. Confío en que las siguientes líneas cautiven su curiosidad tanto como a mí me han cautivado.

Harold Edwin Hurst (1880-1978) fue un funcionario modelo del imperio británico. Hijo de un constructor con pocos medios dejó la escuela a los quince años y se formó en química y carpintería. Tras asistir a clases nocturnas, a los 20 años obtuvo una beca para estudiar en Oxford. Para sorpresa de todos obtuvo un sobresaliente en física, a pesar de su deficiente preparación previa en matemáticas. Pero fue en Egipto donde encontró su futuro. A principios del siglo XX, el imperio británico había conseguido dominar la revuelta fundamentalista en Sudán, a lo que siguió un periodo de relativa paz, desarrollo y construcción de presas. La mayor parte del curso del Nilo era propiedad indisputable del gobierno británico: desde el lago Victoria hasta el amplio delta que desemboca en el Mediterráneo, pasando por el lago Alberto, la unión del Nilo Blanco y el Nilo azul en Jartum, las zonas pantanosas y arcillosas y las escarpadas ribas de Sudán y el sur de Egipto. Incluso para un imperio tan vasto como el británico, la escala del Nilo era inmensa. El río tenía 6.695 kilómetros de largo. Su amplia cuenca cubría el 10 por ciento de la superficie del continente africano entero. El caudal medio a lo largo de un siglo era de 92.400 millones de metros cúbicos. Sólo una octava parte de esa cantidad, observó Hurst, transportada milagrosamente a Yorkshire, inundaría el condado hasta una altura de un metro de agua.

Desde la construcción de la primera presa de Asuán, en 1902, la tecnología y la industria británicas se dedicaron por entero a la explotación del poderío económico del Nilo, el control de las inundaciones y la expansión de la tierra irrigable. La primera tarea de Hurst a su llegada a El Cairo fue curiosa: transmitir la hora oficial del observatorio a la ciudadela, para una salva al mediodía. Pero, debido a su formación científica, pronto se le encomendó el gran proyecto imperial de cartografiar y medir el río. Viajó en barco, a pie con porteadores, en bicicleta, en automóvil y después en avión. Los ingenieros británicos y sus ayudantes egipcios desplegaron medidores para contar las revoluciones por minuto al paso de la corriente. Con plomadas, cuerdas de piano y trigonometría, sondearon las profundidades del río. Construyeron nuevos indicadores de nivel de mármol en mampostería. En Sudán anclaron pilares en el subsuelo permanente para fijar los indicadores de flujo. Midieron el arrastre de arena, arcilla y sedimento, observando una turbidez máxima a finales de agosto, antes del punto álgido de la crecida, y agua clara en invierno.

Su meta principal era controlar el río. Los ingenieros hidráulicos de la época comprendían bien las fluctuaciones fluviales estacionales. Pero la variación anual en un río tan vasto era un problema muy distinto. El caudal del Nilo variaba ampliamente, desde los 151.000 millones de metros cúbicos del año húmedo de 1878-1879 hasta los 42.000 millones de metros cúbicos durante la sequía de 1913-1914. Además, a ese periodo seco le siguió otro sólo dos años más tarde. Las épocas de abundancia también tendían a agruparse. Pero, escribió Hurst, «no había una periodicidad obvia». ¿Cómo puede controlarse algo sin una pauta predecible?.

La solución obvia era una presa lo bastante elevada para contener agua de varios años húmedos y liberarla durante una racha de años secos. Pero, ¿cuánto de elevada?. El diseño de presas era una tarea importante en el siglo XIX, pero -como hoy en las finanzas- se prefería la vía matemáticamente más fácil. Los ingenieros asumían que las variaciones anuales del caudal eran estadísticamente independientes, como en el lanzamiento de moneda de Bachelier (en el que se basa el conocimiento convencional de los mercados financieros). Por supuesto, con una moneda puede salir cara o cruz, de lo contrario no habría ganador. Y hay una fórmula simple para eso: el rango entre la ganancia máxima de Harry en un momento del juego y su máxima pérdida en otro varía con la raíz cuadrada del número de lanzamientos. Por ejemplo, digamos que el juego dura 100 tiradas, y que la mayor ganancia de Harry fue de ocho y su máxima pérdida, tres. El rango entre ambos extremos es 11. Supongamos ahora que el juego se alarga 100 veces, hasta las 10.000 tiradas. La fórmula dice que el rango debería ser unas diez veces mayor, o 110. Según la teoría, la mejor puntuación de Harry debería ser 67, y la peor -43 (rango 110 entre ambos extremos). Tomando a Harry como modelo, un ingeniero puede hacer unos cuantos cálculos simples. Supongamos que pretende reemplazar una presa de veinticinco años por otra más alta, a prueba de cien años de caudal. La escala temporal de la nueva presa es cuatro veces mayor que la antigua, Así pues, si se aplica la matemática convencional, la nueva presa debería ser el doble de alta que la antigua. Limpio y simple.

Pero erróneo. De hecho, Hurst concluyó que la presa debería ser más alta. Lo que halló es que el rango entre la mayor y la menor crecida del Nilo se ampliaba más deprisa de lo que predecía el modelo de la moneda. Las subidas del río eran mayores, y las bajadas menores. Pero el problema no eran las crecidas individuales. En realidad, los datos de las crecidas anuales se ajustaban razonablemente bien a una campana de Gauss. En apariencia, eran las rachas climáticas (las inundaciones o sequías continuadas) lo que modificaba el juego. Esto parece obvio ahora: no sólo importa la magnitud de las crecidas, sino su secuencia precisa.

Tras estudiar los registros de las crecidas, Hurst concibió su propia fórmula para incorporar este efecto. Para ello miró mucho más allá del Nilo, sin preconcepciones. Examinó los registros de las crecidas del río Truckee, cerca del lago Tahoe, y del lago Hurón; los cambios de nivel anuales del lago Dalalven, en Suecia; las pluviometrías desde Adelaida, en Australia, hasta Washington; las capas de sedimentos lacustres en Rusia, Noruega y Canadá; las temperaturas desde St. Louis hasta Helsinki; los anillos de crecimiento de los pinos y secuoyas de Flagstaff; incluso las manchas solares. Recopiló y escudriño todos los registros fiables y a largo plazo que pudo encontrar en relación al clima, hasta un total de 5.915 mediciones anuales correspondientes a 51 fenómenos distintos. En casi todos los casos, cuando representó el rango de cada registro en función del número de años, vio que se ampliaba más deprisa de lo esperado, igual que en el Nilo. De hecho, encontró que, en todas partes, los diferentes fenómenos obedecían a la misma fórmula: el rango se ampliaba no según una raíz cuadrada, como en el lanzamiento de una moneda, sino según una potencia 3/4 (de dimensión fractal: 0,73 para ser precisos). Un número extraño; pero, afirmó Hurst, un hecho fundamental de la naturaleza.

Los hidrólogos se mostraron escépticos. De 1951 a 1956, Hurst (quién ya había cumplido los 70 años) publicó tres largos ensayos sobre sus hallazgos, cada uno acompañado de una retahíla de comentarios impresos de defensores y detractores. Algunos lo ensalzaban y aportaban más registros en su apoyo. Otros lo acusaban de hacer vudú estadístico. Un tal F.A. Sharman, observó sarcásticamente que cualquiera que pretendiera haber encontrado un hilo conductor desde los anillos de los árboles hasta las manchas solares y los estratos de lodo debía haber dado «un paso sensacional hacia la ley universal única de la naturaleza». Pero en el caso de Hurst, «lo único que tenían en común los fenómenos era su anarquía».

Quizá, pero la fórmula funciona. Por ejemplo, supongamos que queremos asegurar el suministro de agua de Nueva York durante un siglo: ¿qué capacidad deberían tener los depósitos?. La fórmula de Hurst daba la respuesta. De 1826 a 1945, observó, la precipitación anual media en Nueva York había sido de 1 metro; y la desviación estándar de año a año era de 16 centímetros. De acuerdo con la fórmula, para almacenar agua suficiente capaz de cubrir un siglo de sequías o inundaciones extremas, necesitaríamos depósitos lo bastante profundos para almacenar hasta 16,7 veces la desviación estándar: 2,67 metros, o el suministro de dos años y medio. Desde entonces, distintos hidrólogos han confirmado el resultado básico de Hurst en otros ríos. Sus propios cálculos mostraron que el Nilo podía controlarse mediante una serie de embalses interdependientes de volumen moderado río arriba, lejos de Egipto. Sin embargo, para cuando se emprendió el proyecto en los años cincuenta, el gobierno independiente de nuevo cuño de Gamal Abdel Nasser prefirió una afirmación política más grandiosa del orgullo egipcio, la gran presa de Asuán. Pero los cálculos de Hurst seguían siendo necesarios.

A menudo las teorías tienen que rendirse a los hechos. la cosa no era tan simple. Al leer los artículos de Hurst advertí que su preocupación no había sido la magnitud de las variaciones, sino su secuencia precisa. Si se tomaban todos juntos, omitiendo su secuencia original, sus datos no aportaban nada especial: una aburrida campana de Gauss. El problema me atrapó. En el caso del algodón, las correlaciones entre los precios pasados y futuros fueron obvias. Lo mencioné en su momento, pero no había podido ir más lejos; así que había aparcado el estudio de la secuencia precisa, y había obrado como si cada precio fuera independiente del anterior. Pero la investigación de Hurst planteaba otro misterio. Con un valioso encanto añadido: que era tan verdaderamente antigua, tanto como las pirámides.

¿En qué medida el pasado conforma el futuro?. Un filósofo de la moral lo expresaría así: ¿es el destino lo que determina nuestra trayectoria vital, o elegimos nuestros caminos con cada nueva decisión?. Un matemático emplea otra terminología: ¿es un suceso dependiente de otro, o independiente?. Si el suceso B depende del suceso A, entonces el desarrollo de A modifica las posibilidades de que ocurra B. Si un baloncestista encesta dos veces seguidas, la evidencia sugiere que tiene más posibilidades de hacerlo por tercera vez. Sea por destreza o por psicología, un jugador puede tener rachas buenas; hasta cierto punto, los lanzamientos sucesivos son mutuamente dependientes. Pero, ¿cuánto durará la racha?, ¿se rompe tras un fallo, o dos, o cinco seguidos?, ¿sobre cuántos lanzamientos persiste el efecto de «mano caliente»?. En términos matemáticos, ¿sobre cuántos periodos es significativa la dependencia?. Mirémoslo desde otra perspectiva. Supongamos que somos espectadores del partido. ¿Cuántos fallos hacen falta para que concluyamos que el jugador ya no está en racha?, ¿tres?, ¿siete?. Lo que parece dependiente a primera vista no tiene por qué serlo cuando se estudia más a fondo. Como bien sabe a su pesar todo grafista, los sucesos más aleatorios e independientes pueden exhibir pautas y ciclos de manera espontánea.

Los economistas adoptan una postura reduccionista sobre el tema. En primer lugar, como ya he dicho, la mayoría de sus modelos financieros asumen, incorrectamente, que el precio de un día es independiente del anterior. Pero cuando se trata de magnitudes económicas como la producción, la inflación o el desempleo, la regla es alguna forma de dependencia, y los economistas recurren a recetas de cocina para medir su fuerza y su alcance. Si la inflación sube en abril, ¿cuán probable es que lo haga en mayo?, ¿y en junio?, ¿y en julio?. Para cada lapso de tiempo, los economistas miden la fuerza de la correlación, que puede variar entre un valor arbitrario de 1 para sucesos perfectamente acompasados y -1 para sucesos que siempre van con el paso cambiado. El valor 0 significa ausencia total de correlación: los eventos suceden sin ninguna influencia mutua. Entre 1 y -1 hay un número infinito de valores intermedios, cada uno de los cuales cuenta una historia diferente sobre el signo y la fuerza de la dependencia a corto plazo. Lo habitual es que las correlaciones más fuertes sean las más a corto plazo, y las débiles a largo plazo. Si se representan gráficamente todas las correlaciones, de corto a largo plazo, se obtiene una curva descendente. La rapidez de la caída varía de una magnitud económica a otra. La inflación es «persistente», lo que quiere decir que su curva desciende con relativa lentitud. Una vez la inflación se dispara, es difícil de parar (como descubrieron los bancos centrales en los años setenta). Las curvas de muchas otras magnitudes económicas exhiben abultamientos peculiares en su descenso. Las existencias de maíz son así: la curva cuenta con un bulto en la marca anual, porque el ciclo anual de siembra y cosecha tiene un marcado efecto en el suministro. El producto nacional bruto, la medida estándar del rendimiento económico, exhibe varios bultos extraños en su caída hacia una correlación nula (una pauta corriente es entre uno y pocos años, entre 15 y 20 años, y entre 40 y 60 años). Los economistas han estado debatiendo sobre el significado de estas prominencias en el ciclo económico durante décadas, sin llegar a una respuesta clara.

Pero, ¿por qué detenerse a los 15 años, o a los 50?. La obra de Hurst me sugirió algo más radical: correlaciones que decrecen, pero tan despacio que parece que nunca desvanecen del todo, por largo que sea el intervalo de tiempo. ¿Cómo es posible?. Recordemos que el interés primordial de Hurst era la fluctuación del caudal fluvial. Su fórmula es una receta matemática para calcular la altura óptima de una presa y el nivel de reserva de agua. Supongamos que el embalse se llena tras una serie de años lluviosos, a los que siguen unos cuantos años moderadamente secos; pero el embalse está lleno, porque la abundancia previa todavía se deja sentir. Luego llegan años muy secos, y la reserva de agua comienza a disminuir. Pero hay más agua de la que habría sin embalse; el efecto de los años lluviosos sigue ahí. El lector puede hacerse una idea de esto en este gráfico, que representa el grosor de los anillos de crecimiento en algunos de los árboles más viejos del mundo, los vetustos abetos de Monte Campito, en las Montañas Blancas de California.



La curva comienza como la mayoría de tales gráficos, llamados correlogramas, con correlaciones altas a corto plazo: los anillos de crecimiento adyacentes, separados sólo por uno o dos años, están fuertemente correlacionados. Más allá de unos pocos años, la correlación cae; la pauta de una década o centuria a la siguiente es más azarosa. Pero la correlación desciende más lentamente de lo esperado. De hecho tienen que pasar 150 años para que las pruebas usuales de significación estadística dejen de detectarla. ¿Por qué se mantiene la correlación de los anillos durante tantos años?. Tras este hecho subyace un debate sobre el calentamiento global.

Esto es dependencia a largo plazo. Se trata de un concepto sutil, así que comencemos con un ejemplo que ilustra la idea general. Una sustancia radiactiva pura se desintegra en progresión geométrica. Tras una vida media, sólo queda la mitad; tras dos vidas medias, queda una cuarta parte; luego una octava parte, y al final prácticamente nada. Pero consideremos una mezcla de sustancias radiactivas distintas con vidas medias muy cortas, cortas, largas y muy largas. Cuando los componentes de vida corta prácticamente han desaparecido, los otros apenas han comenzado a desintegrarse, por lo que su efecto perdurará. Esto es dependencia a largo plazo. No es un ejemplo hipotético: los residuos nucleares constituyen una mescolanza de sustancias radiactivas con múltiples vidas medias. Esto es un hecho y, hasta donde yo sé, un auténtico misterio. En casi todos los otros casos, la idea de la mezcla es sólo una metáfora, pero me ayudó a ver que la dependencia a largo plazo puede dar cuenta de los hallazgos de Hurst. Es un pilar de la geometría fractal.

Vayamos ahora a las finanzas. En 1982, IBM, por entonces la mayor compañía del ramo de la computación, decidió que los muchachos de Apple, por entonces unos advenedizos, estaban amenazando su futuro con un nuevo producto: el ordenador personal. IBM actuó con desacostumbrada celeridad. Prescindió de sus propias factorías de microprocesadores y departamentos de software. Reclutó a una empresa de semiconductores guerrera llamada Intel para fabricar los nuevos microprocesadores, y a un brillante pero insignificante jovenzuelo llamado Bill Gates para que le proporcionara su software. El resto es bien conocido: Intel y Microsoft crecieron más allá de lo imaginable. IBM tropezó y menguó. Pero los destinos de sus acciones se afectan mutuamente, y los beneficios o problemas de una redundan en el negocio o cotización de las otras. El eco de un suceso ocurrido hace más de dos décadas, el nacimiento de dos gigantes industriales al amparo de IBM, continúa reverberando en los precios de las acciones de IBM. La dependencia en este caso tiene un alcance de unos treinta años. Es fácil imaginar dependencias aún a más lago plazo: la disolución por orden judicial del John D. Rockefeller's Standard Oil Trust en 1911 continúa afectando a sus hijos supervivientes, Exxon Mobil, Conoco Phillips, Chevron Texaco y BP Amoco.

Nadie está solo en este mundo. No hay acto que no tenga consecuencias para otros. Un dogma de la teoría del caos es que, en los sistemas dinámicos, el resultado de cualquier proceso es sensible a su punto de partida (o, de acuerdo con el famoso cliché, el aleteo de una mariposa en el Amazonas puede causar un tornado en Texas). No digo que los mercados sean caóticos, pero está claro que la economía global es una máquina inconcediblemente complicada. A toda la complejidad del mundo físico de la meteorología, las cosechas, la minería y las factorías, hay que sumar la complejidad psicológica de las actuaciones personales basadas en expectativas ilusorias de lo que puede o no ocurrir, y que no son más que meros fantasmas. Las compañías y los precios de las acciones, los flujos de comercio y las cotizaciones monetarias, los rendimientos agrícolas y los futuros, todos están interrelacionados en mayor o menor grado, de una manera que apenas estamos comenzando a comprender. En un mundo así, es de sentido común que los sucesos del pasado remoto continúen teniendo eco en el presente.

En los años sesenta, algunos veteranos de Wall Street, hombres que recordaban el trauma de la gran depresión de 1929, me hicieron una advertencia: «Cuando desaparezcamos de este negocio, algo se perderá, y es la memoria de 1929». Ese recuerdo personal, me dijeron, les hacía actuar con más cautela. Colectivamente, su generación proporcionó un freno interno a la especulación más salvaje, una póliza de seguros contra los excesos financieros y las consiguientes catástrofes. Sus memorias proporcionaban una forma práctica de dependencia a largo plazo en los mercados financieros. No sorprende que en 1987, cuando la mayoría de estos hombres se había ido y su sapiencia había sido olvidada, el mercado pasara por primera gran crisis en casi setenta años. O que, dos décadas más tarde, veamos el mercado más alcista y el peor mercado bajista en generaciones. Pero la teoría financiera estándar sigue sosteniendo que lo único que importa en los modelos de mercado son las noticias de hoy y las expectativas de mañana.

Nota: El exponente de Hurst (calculable mediante el método R/S propuesto por Mandelbrot) puede tomar cualquier valor entre cero y uno. Si es mayor de 0,5 la tendencia es persistente, así que significa que un aumento es probable que sea seguido por otro aumento, mientras que las disminuciones son probables que sean continuadas por disminuciones. Un exponente más bajo de 0,5 indica anti-persistencia, así que significa que un movimiento en una dirección hace más probable un movimiento en la otra dirección . Si el exponente de Hurst está cercano a 0,5 se deduce que el patrón es al azar y en consecuencia ningún movimiento predice el siguiente.

Para saber más: Benoît Mandelbrot en Wikipedia (inglés)

Exponente de Hurst (inglés)

¿Por qué es interesante el exponente de Hurst?

Memoria de largo plazo y efecto reset en retornos accionarios latinoamericanos

Memoria a largo plazo en el mercado de valores español: una aproximación mediante el análisis R/S

Memoria de largo plazo en el índice S&P 500: Un enfoque fractal aplicando el coeficiente de Hurst con el método R/S

Lorenzo Ferrer: In Memoriam

Así recuerdo a Lorenzo Ferrer, don Lorenzo como en muchas ocasiones se me escapaba por el respeto a sus canas y mi admiración a su vitalidad intelectual, delante de una pizarra de tiza con ecuaciones y modelos matemáticos, una pizarra y unos alumnos y ex-alumnos que nos quedamos huérfanos de su sabiduría transversal, desde la Matemática más compleja hasta la Historia menos convencional.

Nos dejó el pasado 6 de noviembre, a escasos días de cumplir los 90 años, a pocos días de la desaparición de otro gigante de la Matemáticas como Benoît Mandelbrot, todavía al pie del cañón como catedrático y profesor emérito de la Universitat de València, nunca se jubiló de sus alumnos a los que animaba a seguir estudiando, profundizando y trabajando en todos los frentes abiertos por la Matemática Aplicada: desde las Mecánica Cuántica hasta la Teoría del Caos, desde la Matemática no lineal hasta los modelos de Forrester, desde la Microeconomía hasta la Estadística multivariante, desde la optimización de sistemas hasta la modelización de la ciudad europea del futuro.

No es fácil resumir lo que aportó Lorenzo Ferrer a varias generaciones de estudiantes y profesionales en su larga vida como docente e investigador, pero en un esfuerzo de síntesis podría afirmar sin miedo a equivocarme: Lorenzo Ferrer era un hombre renacentista, transdisciplinar en el sentido que afirmaba otro sistémico como Peter Checkland: “lo que necesitamos no son grupos interdisciplinarios, sino conceptos transdisciplinarios, o sea conceptos que sirvan para unificar el conocimiento por ser aplicables en áreas que superan las trincheras que tradicionalmente delimitan las fronteras académicas”. A esa idea dedicó Lorenzo Ferrer muchos esfuerzos. Un sabio, un científico que ante la crisis sistémica que nos encontramos estoy seguro que nos pediría a todos, desde las más altas autoridades hasta el último de la fila, el máximo esfuerzo personal para combinar inteligencia, debate y acción, sacrificando los pequeños egos en un esfuerzo común para hacer emerger la inteligencia colectiva necesaria para comprender lo que sucede, simular las posibles trayectorias de evolución y realizar las acciones consistentes con el cambio sistémico necesario para la viabilidad y sostenibilidad de la sociedad deseada.

Siempre le recordaré como el profesor-currante que era, comprometido, exigente, inquieto por seguir aprendiendo y divulgando, trabajador incansable que se tomaba muy en serio la enseñanza, con sus memorables apuntes y esquemas escritos a mano que nos recordaba la nobleza de las Matemáticas como una ciencia que necesita más transpiración que genialidad. No fue fruto de la casualidad que Lorenzo Ferrer fuera pionero en la introducción en España de la Investigación Operativa, la Dinámica de Sistemas y la Sistémica, pues, como decía Picasso “la inspiración es trabajar todos los días”.

Si una cualidad humana distinguía a Lorenzo era su curiosidad, bonhomía y persistencia. Raramente un objeto de conocimiento se resistía a su capacidad de trabajo. En los últimos años le recuerdo centrando sus esfuerzos en la Teoría del Caos, una disciplina que me decía le tenía atrapado por su insondable apariencia y sus posibilidades de aplicación en la interpretación de la Historia y su devenir. Fruto de esa reflexión sobre el caos era un libro en clave de novela histórica que estaba escribiendo y aunque inédito espero tener el placer de leer algún día.

Descanse en paz este obrero de la enseñanza y matemático singular que fue por encima de todo una buena persona.

Industrial Dynamics de Jay Forrester

Dinámica Industrial, [Industrial Dynamics, en su original inglés de 1961] que pronto celebrará su 50 cumpleaños, fue la primera obra del original profesor del MIT Jay Wright Forrester, a la que siguieron títulos importantes como Principles of Systems, Urban Dynamics, y la mítica World Dynamics marcan un hito en la historia del Pensamiento Sistémico y en la partida de nacimiento de una nueva disciplina fundamental en el modelado y comprensión de los sistemas complejos: Dinámica de Sistemas.

Compartiendo longevidad con el profesor Ackoff, el profesor Jay Wright Forrester, que Dios mediante cumplirá 92 años este 2010, es una figura clave en la modelización matemática de los sistemas dinámicos, por no decir su creador y pionero. Por decirlo así, Forrester “abrió la caja de truenos” con la primera modelización del Mundo [“World-1”] por encargo del Club de Roma, que dio lugar a la famosa polémica de los “Límites al crecimiento” y a sucesivos refinamientos de sus discípulos Dennis L. Meadows, Donella H. Meadows y Jorgen Randers con “World-2” y “World-3”. Más adelante abordaré en otro post este importante modelo.

Si bien otros discípulos suyos como Peter Senge y John Sterman han popularizado y puesto al alcance de todo el mundo las técnicas de la Dinámica de Sistemas a través de herramientas informáticas y conceptuales más avanzadas, siempre es un placer acudir a la fuente inspiradora de aquella obra pionera que marcó un antes y un después en la comprensión de la complejidad y la interacción con las decisiones humanas.

Industrial Dynamics supuso una ruptura en la forma de mirar los sistemas y su modelización. Hasta entonces los modelos teóricos eran típicamente lineales: “Si aumentamos la cantidad de vendedores, aumentaremos la cantidad de ventas”. En su lugar, la Dinámica de Sistemas apostó por hacer no lineal la esencia de los modelos reales y a restar el énfasis en la predicción. Así, en vez de diseñar el modelo para hacer pronósticos de acontecimientos futuros, la Dinámica de Sistemas opta por captar la mayor cantidad de bucles de realimentación importantes para trasladarlos al modelo mental del modelizador y posteriormente desarrollarlo conceptual, matemática e informáticamente en un ordenador, pues a los pocos bucles de realimentación se vuelve difícil observar la evolución de un sistema complejo sin la ayuda de un ordenador. Una vez hecho esto, la Dinámica de Sistemas permite “perturbar el modelo”, verificando diversas variables para aprender acerca de los puntos críticos del sistema, su probable evolución y resistencia al cambio.

Esta es quizá la mayor aportación de la Dinámica de Sistemas de Jay Forrester a la comprensión de los sistemas: no busca técnicas para controlar el sistema o dominar su funcionamiento, por el contrario pretende agudizar nuestro conocimiento acerca del diseño, estructura y funcionamiento del sistema estudiado a fin de obtener una visión de conjunto para poder interactuar con él más armoniosamente para intervenir sabiamente, se trate de sistemas económicos, sociales, biológicos o tan complejos como el mundo que habitamos.

Sin más dilación voy a dar paso a una de las ideas más interesantes del profesor Forrester al respecto de las limitaciones mentales de los humanos cuando nos enfrentamos a la complejidad de los sistemas sociales, una limitación que viene dada por nuestra incapacidad para comprender la relaciones de “causalidad circular con demora”, la dificultad para encontrar “puntos de apalancamiento” que no siempre están en la proximidad de los síntomas y la miopía en visualizar los efectos de largo plazo de nuestras decisiones. Que lo disfruten.

El comportamiento contraintuitivo de los sistemas sociales

Muchas características de los sistemas sociales confunden a la gente. Ese comportamiento que la gente no se espera surge en los sistemas corporativos y urbanos así como en las presiones mundiales que en la actualidad envuelven el planeta. Tres comportamientos contra-intuitivos de los sistemas sociales son especialmente peligrosos.

Primero, los sistemas sociales son totalmente insensibles a la mayoría de los cambios que la gente elige en un esfuerzo por alterar el comportamiento de los sistemas. De hecho, los sistemas sociales llaman la atención a tal grado que sería inútil tratar de intervenir. La intuición humana se desarrolla al tener contacto con los sistemas simples. En los sistemas simples, la causa del problema está muy relacionada, en tiempo y espacio, con los síntomas del problema. Si uno toca una estufa caliente, uno se quema al instante; la causa es obvia. Sin embargo, en los sistemas dinámicos complejos, las causas a menudo no tienen relación, en tiempo y espacio, con los síntomas. Las causas verdaderas pueden no tener relación con el tiempo pero si surgen de una parte totalmente diferente del sistema en donde se presenta el síntoma. Sin embargo, el sistema complejo puede ser confuso al presentar una causa aparente que reúne las expectativas derivadas de los sistemas simples. Una persona se dará cuenta de cuáles parecen ser las causas más cercanas a los síntomas tanto en tiempo como en espacio—poco antes en tiempo y cercano al síntoma. Sin embargo, las causas aparentes son generalmente coincidencias que, al igual que el síntoma del problema en sí, son producidas por la dinámica de lazo de retroalimentación de un sistema más grande. Por ejemplo, el sufrimiento humano en las ciudades va acompañado (algunos piensan que es causado) por la vivienda inadecuada. Como resultado, se eleva la vivienda y la población crece a pesar de los esfuerzos. Mucha gente está aprisionada en el deprimente sistema urbano. Otro ejemplo, los síntomas de la población excesiva ya comienzan a ensombrecer todos los países. Los síntomas comienzan con el agolpamiento urbano y la presión social. En lugar de enfrentarse al problema creciente de población, los gobiernos tratan de aligerar las presiones inmediatas ofreciendo apoyo financiero, más policías, transporte escolar y subsidiando servicios de salud. Como consecuencia, la creciente población reduce la calidad de vida de cada individuo.

Segundo, los sistemas sociales aparentemente tienen unos cuantos aspectos influyentes con los cuales pueden cambiar el comportamiento. Estos aspectos altamente influyentes no son lo que la mayoría de la gente espera. Además, cuando se identifica una política altamente influyente, existen más probabilidades de que las personas que se guíen por intuición o por su juicio, desviarán totalmente el sistema en la dirección equivocada. Por ejemplo, en un sistema urbano la vivienda es un aspecto de control influyente pero, si nuestro deseo es convertir la ciudad en un mejor lugar para la gente de la clase baja y demás, lo mejor sería reducir la vivienda económica en lugar de aumentarla. Otro ejemplo es el problema mundial de la población creciente y la disparidad entre los estándares de vida en los países desarrollados y subdesarrollados. Los modelos de dinámica de sistemas dicen que algunos aspectos de control influyentes para aumentar la calidad de vida mundialmente, existen en la tasa de generación de inversión de capital y en la producción de alimentos, pero esa expansión de la industrialización y producción de alimentos son las direcciones contraproducentes, ambas deben ser restringidas. La respuesta común al desastre mundial ha sido el aumento de la industrialización y la producción de alimentos, así que sería conveniente reducir este aumento si se tiene la esperanza de mejoras a largo plazo. Contrario a las expectativas intuitivas, el evitar las prácticas actuales podría aumentar la calidad de vida y contribuir a la estabilización de la población.

Tercero, los sistemas sociales muestran un conflicto en las consecuencias a corto y largo plazo de un cambio de política. Una política que produce mejoras a corto plazo, por lo general degrada un sistema a largo plazo. De igual forma, las políticas que producen mejoras a largo plazo pueden, en un principio, deprimir el comportamiento de un sistema. Esto es especialmente engañoso. El corto plazo es más visible y más convincente. Las presiones a corto plazo son muy obvias. Sin embargo, las secuencias de las acciones dirigidas a la mejora a corto plazo pueden deprimir tan severamente al sistema que ni las medidas heroicas a corto plazo son suficientes. Muchos de los problemas que se enfrentan en la actualidad son los resultados cumulativos de las medidas a corto plazo tomadas en las décadas anteriores.

Al igual que sucede con el profesor Ackoff, Jay Forrester sigue dando ejemplo como profesor emérito de la prestigiosa Sloan School of Management del MIT de Boston, siendo un testimonio viviente para muchos sistémicos.

La frase: “Es cierto que la contaminación, la sobrepoblación, las enfermedades, la escasez de comida, la guerra, o alguna otra fuerza igualmente poderosa, podrán un límite al crecimiento de la población si la persuación o factores psicológicos no lo hacen. El crecimiento exponencial no puede continuar por siempre. De seguir creciendo al ritmo actual, habrá solo un metro cuadrado por persona antes de 400 años. Nuestro gran reto es guiar la transición del crecimiento al equilibrio. A menos que el mundo entienda y comience a actuar pronto, la civilización será sobrepasada por fuerzas que nosotros mismos hemos creado, pero que ya no podemos controlar nunca más”.

Para saber más: Jay Forrester en Wikipedia [inglés] y Jay Forrester en Wikipedia [castellano]

Selected Papers by Forrester [inglés]

System Dynamics en Wikipedia [inglés]

Introduction to System Dynamics del U.S. Departament of Energy's [inglés]

Essential System Dynamics Literature [inglés]

Dinámica de Sistemas en Wikipedia

Cátedra UNESCO de Sostenibilidad de la UPC - Grupo de Dinamica de Sistemas

Diseñando el futuro. Conferencia del profesor Forrester en la Universidad de Sevilla el 15-12-1998

Lotka-Volterra: Interdependencia Sistémica

Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano fue catedrático de la universidad de Roma y senador. Su oposición al fascismo y su origen judío significaron la expulsión de su cátedra y de las sociedades científicas italianas. Exiliado en Francia hasta 1939, impartió cursos en distintos países, entre ellos España. Volterra desarrolló la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre y tras la primera guerra mundial, en la que se alistó en el cuerpo de ingenieros, se interesó por la aplicación matemática en la biología, extendiendo y desarrollando la obra del matemático belga Pierre François Verhulst, uno de los “padres” de la ecuación logística que comenté en el post sobre “teoría del caos”, cuando sobre un problema de poblaciones de peces diseñó una ecuación logística sobre el crecimiento de poblaciones competitivas expresada como sistema de dos ecuaciones diferenciales.

Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano de origen ucraniano escribió un libro de Biología teórica y varios artículos sobre procesos oscilantes en Química, en donde de manera independiente a Volterra trabajó con la misma ecuación logística de Verhulst pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan y estableció el modelo que hoy se conoce con el nombre de ambos Lotka-Volterra y que representa aún la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones y otros modelos matemáticos en campos tan diversos como la economía, interdependencia compleja, sostenibilidad, tratamiento de plagas, etc.

El sistema de ecuaciones diferenciales Lotka-Volterra (en adelante Modelo Lotka-Volterra) tiene un interés especial en el campo del Pensamiento Sistémico debido a que reúne dos características clave: aún tratándose de un modelo no lineal es sencilla de modelar con medios informáticos (aunque existen extensiones posteriores para hacerla más “realista”) y hace tangible los conceptos a veces abstractos de interdependiencia y acoplamiento, esenciales desde la perspectiva sistémica pues estas son “características isomorfas” a todos los sistemas. En otro post profundizaré sobre el “isomorfismo”, verdadera madre de todas las batallas para los sistémicos.

El modelo Lotka-Volterra en su forma más simple trata de dos tipos de especies diferentes pero unidas por un fuerte vínculo enmarcado en el más puro darwinismo: una especie presa (peces, conejos, etc.) y otra especie predadora (tiburones, zorros, etc.) comparten un mismo ecosistema. Las premisas de partida son igualmente simples: la especie presa se desenvuelve en un medio sin escasez de alimento (recordemos en la ecuación logística el parámetro lambda) y que la especie presa no tiene otro predador adicional al declarado en el modelo (esto es, si no hubiese ninguna especie predadora, la dinámica poblacional de la especie presa sería la misma que vimos en la ecuación logística). Por otro lado, la especie predadora únicamente consume la especie presa declarada en el modelo y ninguna otra, incluida la propia especie predadora (esto es, en el modelo Lotka-Volterra, como dicen los ecólogos, únicamente existe competencia interespecífica y no competencia intraespecífica o canibalismo). Esto último bien es cierto que atenta contra la teoría de la evolución, puesto que la especie predadora debería estar capacitada para buscar otra especie para cazar cuando desaparece la población de la especie presa, como tampoco es posible la migración para presas o predadores y aunque es posible la existencia de otras especies, no afectan (no compiten) con la interacción a estudiar (a veces en aras de la simplicidad hay que hacer estos sacrificios reduccionistas). Esto significa que el modelo parte de la hipótesis de trabajo de ser un sistema cerrado, como por ejemplo que ambas especies están encerradas en un estanque o en una isla como si se tratara de un reality show al estilo de “Supervivientes” o “Gran Hermano”.

El modelo Lotka-Volterra muestra claramente la interdependencia entre las especies del sistema presa-predador y refleja lo que podemos intuir en el comportamiento cualitativo del modelo sin llegar a visualizarlo numéricamente o gráficamente, esto es, si hay muchos predadores y cazan todas las presas, podemos intuir lo que les pasará a la especie predadora al cabo de pocos periodos (curva logística exponencialmente negativa), mientras que si no hay predadores podemos intuir lo que les pasará a la especie presa al cabo de pocos periodos (curva logística exponencialmente positiva). Lo que ya resulta algo más complejo es que nuestra intuición nos anticipe lo que sucederá en un estadio de cuasi-equilibrio. Es lo que vamos a visualizar ahora, las oscilaciones del sistema y la emergencia de un cierto patrón oscilatorio común en muchos sistemas: atractor de ciclo límite. Vayamos pues a interpretar el Modelo Lotka-Volterra.


Donde

x es el número de presas (por ejemplo, peces o conejos);
y es el número de predadores (por ejemplo, tiburones o zorros);
dx/dt and dy/dt representa el crecimiento de las dos poblaciones en el tiempo;
t representa el tiempo, y α, β, γ and δ son parámetros que representan las tasas de crecimiento/decrecimiento y de interacción entre las dos especies, es decir, α representa la tasa de crecimiento de las presas (o tasa de natalidad de las presas), β representa la tasa de eliminación de las presas por parte de los predadores (o productividad de los predadores o eficiencia de captura), γ representa la tasa de eliminación natural de los predadores (o tasa de mortalidad de los predadores) y δ representa la tasa de crecimiento de los predadores como resultado del consumo de presas (o tasa de transferencia energética de las presas a los predadores).

Como se puede observar intuitivamente, la velocidad con que varía la población de presas (x) es proporcional a la población existente en el momento t (a través de la tasa de natalidad) y proporcional al número de interacciones con los predadores (y) (a través de la tasa de captura), es decir, propocional tanto a la población de presas (x) como de predadores (y) en el momento t. Combinando ambos efectos la velocidad de variación de la población de presas será:


Y la velocidad con que varía la población de predadores (y) es proporcional a la población existente en el momento t (a través de la tasa de mortalidad) y propocional al número de encuentros presa (x) predador (y) (a través de la tasa de transferencia energética), es decir, propocional tanto a la población de presas (x) como de predadores (y) en el momento t. Combinando ambos efectos la velocidad de variación de la población de predadores será:


Por otro lado, como he anticipado antes, existen dos interpretaciones intuitivas fácilmente deducibles en el modelo, donde en ausencia de predadores (y), la población de presas (x) crece en forma exponencial positiva hasta saturar la capacidad de carga del ecosistema.


Y, obviamente su contrario, esto es, en ausencia de presas (x), los predadores (y) se extinguen en forma exponencial negativa hasta su extición.


Pero, la gracia y el comportamiento anti-intuitivo del modelo Lotka-Volterra se encuentra cuando los parámetros de interacción β y δ son distintos a cero (además de las tasas de natalidad y mortalidad), es entonces cuando nos encontramos con un sistema de dos ecuaciones acopladas, donde existe retroalimentación porque la variación de uno de los componentes del sistema afecta al segundo componente que a su vez afectará al primero. Es en este punto crucial donde se encuentra la “madre del cordero” del modelo, pues nos descubre sutilmente la emergencia de una propiedad sistémica de (si me permiten la expresión) “interés común” para ambas especies: su inter-dependencia. Pues, de algún modo, las presas “dependen” de los predadores para evitar la maldición Malthusiana que supondría una superpoblación que superase la capacidad del carga del ecosistema, a la vez que los predadores “dependen” de las presas para sobrevivir, reproducirse y evitar su desaparición.

Aquí es donde comienza lo interesante desde el punto de vista cualitativo y donde Volterra descubrió algunas propiedades dignas de mencionar.

El Principio de Volterra

La primera propiedad se denominaría con el tiempo Ley de la periodicidad de Volterra que viene a decir que el cambio de los tamaños poblacionales de ambas especies (presa y depredadora) son periódicos, en efecto:


Otra propiedad interesante y anti-intuitiva es la Ley de Conservación de los Promedios. Según ésta ley los promedios de los tamaños poblacionales de la especie presa (x) y de la depredadora (y) son independientes de su tamaño inicial y, calculados en un periodo son α/β y γ/δ.

Y, tal vez la propiedad más anti-intuitiva es la Ley de la perturbación de los promedios, más conocida como el “Principio de Volterra”, que viene a decir que si las poblaciones de ambas especies son destruidas a una razón proporcional a su tamaño poblacional, el promedio de las presas aumenta, mientras que el de los predadores disminuye. El “Principio de Volterra” tiene importantes implicaciones en el uso de insecticidas que destruyen tanto a los insectos predadores como a sus insectos presa. Pero no termina ahí su aplicación, de ahí su interesante “fertilidad cruzada” como sucede con otros isomorfismos, pues el mismo principio es aplicable en campos tan diferentes como medicina, policial, militar, económica, ciclo producción-consumo, etc. en general allí donde exista un sistema acoplado de dos componentes (o más) y se decida la intervención indiscriminada sobre todos los componentes del sistema puede alterar profundamente el equilibrio pre-existente y en la mayoría de ocasiones provocar resultados inesperados o contraproducentes si no se ha tenido en cuenta esta sutil inter-dependencia entre los componentes del sistema. Es decir, por ejemplo, si la proliferación de una plaga (presas) es controlada mediante procedimientos naturales por otra especie (predadores), existe cierto equilibrio entre ambas como hemos podido comprobar (oscilaciones periodicas). Si, por otro lado, en cierto momento se decide la aplicación de un insecticida para acabar con la plaga sin tomar en cuenta que éste también mata a los predadores el resultado será según el “Principio de Volterra” que, en promedio, la plaga aumenta y, también en promedio, la especie con la que se controlaba disminuye. En efecto, suponiendo por ejemplo una perturbación (eliminación) en ambas especies del orden del 90% en el periodo 40 y del 80% en el periodo 41, observaremos como la plaga (la especie presa en este caso) se recupera más rápidamente que la especie que la regulaba (la especie predadora de la plaga), alterando sustancialmente el equilibrio pre-existente y con ello los dos atractores de ciclo límite. Tener en cuenta el “Principio de Volterra” es crucial para el diseño de plaguicidas, de modo que focalicen su efecto letal sobre la especie-plaga y minimicen los daños colaterales en los predadores naturales. Esto es algo que se tiene muy en cuenta en la industria farmacológica con el concepto de diana terapéutica en el tratamiento del cáncer y otras enfermedades para evitar en lo posible que los fármacos ocasionen daños colaterales en el sistema inmunológico.


Retomando la propiedad isomorfa del Modelo Lotka-Volterra he mencionado deliberadamente otras aplicaciones en el ámbito policial, militar, económica, etc. ¿Por qué policial?. A pocos estrategas policiales se les escapa que el fenómeno mafioso implica, desde un punto de vista presa-predador, un control indirecto sobre pequeños delitos (predadores pequeños) a cambio de la presencia permisiva de un delito mayor (extorsión continuada). No es ningún secreto que todas las policías del mundo saben o intuyen que los predadores grandes (delincuentes organizados) “mantienen a raya” en su territorio a los predadores pequeños (delincuentes no organizados). Si un estratega policial decidiera por su cuenta y riesgo, a lo “Batman”, terminar con la extorsión mafiosa (eliminar a los predadores mayores), debería saber o intuir que al poco tiempo los pequeños delincuentes (predadores pequeños) se harán dueños de las calles, pues ante la ausencia de sus predadores naturales (mafia organizada) crecerán en número y fechorias, tal vez hasta constituir “por evolución”, en otra mafia organizada. Por favor, no estoy diciendo con esto que la policía mantenga el status-quo y no actúe contra los mafiosos y extorsionadores, pero sí que tenga en cuenta que el vacío de poder dejado por los mafiosos detenidos debe ser reemplazado por más presencia policial o de lo contrario el éxito policial será efímero.

No terminan aquí los isomorfismos del Modelo Lotka-Volterra. ¿Por qué digo también en el campo militar?. Pongamos que hablo de Afganistán. Pongamos que hablamos de intervenir para eliminar del “sistema afgano” a una especie predadora (los talibanes) que someten a su especie-presa (el pueblo afgano) a una fuerte dictadura ideológica de toda índole y en particular contra las mujeres. Pasado el tiempo y eliminados por intervención externa (recordemos el plaguicida del ejemplo anterior) a los predadores-talibanes ¿quién sigue sometiendo a la especie-presa (el pueblo afgano en general y las mujeres afganas en particular) a una dictadura ideológica similar a los talibanes?. Evidentemente otros predadores han ocupado el espacio dejado por los predadores-talibanes (clanes tribales, traficantes de heroína, etc). El agente externo que actúo de plaguicida (la OTAN de acuerdo con el mandato de la ONU) contra los predadores-talibanes no previó que otro predador secundario (antes sometido por el predador ahora eliminado) sucedería al predador primario.

Por último, ¿por qué digo también en el campo económico?. El debate actual sobre la crisis financiera y sobre el desacoplamiento (decoupling) de países y economías es muy interesante analizarlo a la luz del modelo Lotka-Volterra, pues, como hemos visto anteriormente, el modelo representa un paradigma de interdependencia y acoplamiento. Así, cuando algunos países desearían (otra cosa es que puedan) tener una economía desacoplada (léase ser inmune a la crisis) de los países centrales de la crisis financiera (léase EE.UU. y Reino Unido principalmente, aunque también la zona Euro), lo que están manifestando es algo virtualmente imposible si hasta hoy mismo su economía real (léase sistema productivo) está acoplada a la de los países en crisis financiera. En otras palabras, el acoplamiento y desacoplamiento económico entre países y regiones no se cambia ni se improvisa de un día para otro. Si somos zorros y en nuestro ecosistema quedan pocos conejos y sólo conejos, es difícil que podamos desacoplarnos de los conejos y tengamos otra especie presa alternativa a la cual acoplarnos como especie predadora. Cuando algunos expertos dicen que con la actual crisis financiera China e India pueden sustituir a EE.UU. y Europa como motor de la economía mundial por el hecho de que ambos países crecen con dos dígitos, no están teniendo en cuenta que las economías de los países asiáticos están acopladas enormemente a las de EE.UU. y Europa, a las que deben en gran parte su alto crecimiento, de modo que no va ser fácil que la enorme capacidad productiva asiática, primero, se desacople del enorme mercado de consumo que supone EE.UU. o Europa, y segundo, encuentre otra zona económica de alto consumo a la cual acoplarse en una relación interdependiente de producción-distribución-consumo. ¿El mercado interno asiático podría servir de motor económico?. Tal vez dentro de una o dos generaciones, cuando además de multimillonarios, las economías asiáticas sean capaces de generar y abastecer a una clase media voluminosa que sustituya en gran medida el mercado exterior. Mientras tanto, me temo, si la crisis financiera finalmente contagia a la economía real reduciendo significativamente el consumo en EE.UU. y Europa, en China, India y resto de países asiáticos lo van a pasar mal, porque para bien (y para mal) sus sistemas productivos están acoplados a los sistemas de distribución y consumo de Occidente.

Es decir, aplicando el Modelo Lotka-Volterra y sus extensiones (más de una especie predadora, competencia intraespecífica, etc.) resulta evidente este fenómeno de sustitución de predadores. En estos casos, policial, militar, económico, etc. el principio de Volterra se aplica igualmente, sea para la relación presa-predador o presa-predador-predador, es decir si intervenimos (para perturbar) un ecosistema (biológico, empresarial, policial, militar, económico, etc.) antes debemos tener presente las sutiles interacciones (acoplamientos) entre las diferentes especies/roles o de lo contrario nos encontraremos con situaciones desagradables en la post-intervención.

Por último pero no menos importante es contemplar la Ley de la periodicidad de Volterra con el prisma del concepto del atractor de ciclo límite. Esto se consigue al graficar las soluciones x(t) e y(t) en forma paramétrica en el espacio de fases (x,y), obtenemos la superposición de dos funciones oscilatorias que podemos graficar mediante un típico diagrama de dispersión. En efecto, si observamos el ciclo poblacional de las presas en función del ciclo poblacional de los predadores comprobaremos un patrón gráfico típico en el comportamiento de muchos sistemas.


Igualmente, observaremos el mismo fenómeno en el ciclo poblacional de los predadores en función del ciclo poblacional de las presas


Y, para observar la combinación de ambos atractores, superponemos ambos ciclos en la misma gráfica. Al observar estos atractores podemos interpretar que desprenden cierto significado, incluso cierta belleza y armonía. Efectivamente, desde una perspectiva teleológica el ecosistema parece estar dirigido, como si una mano invisible adamsmithiana mantuviera el equilibrio del sistema dentro del ciclo límite. Aunque desde una perspectiva sistémica podemos interpretar ese ciclo límite como una regularidad típica de los procesos de auto-organización y una propiedad emergente del Modelo Lotka-Volterra. Un tema, la auto-organización como propiedad emergente de los sistemas complejos, tan apasionante que prometo dedicar un post y profundizar en sus implicaciones.


Otras extensiones del modelo Lotka-Volterra se pueden desarrollar para hacer más realista el modelo, por ejemplo incorporando límites a la capacidad de carga del ecosistema para limitar el número de presas, o también incorporando competencia intraespecífica dentro de la especie predadora (canibalismo) o más recientemente incorporando otras especies predadoras de segundo y tercer orden (predadores de predadores, etc.). Otro aspecto interesante del modelo Lotka-Volterra es que nos introduce en el ámbito de una de las ecuaciones no lineales más sencillas de modelizar con las técnicas de la Dinámica de Sistemas en la que profundizaré en próximos post y en donde la comprensión de los resultados anti-intuitivos como fruto de las interacciones existentes en el sistema nos conducen a una nueva forma de pensar y abordar la complejidad. Con el modelo Lotka-Volterra se nos abre todo un mundo de posibilidades para observar la realidad de los sistemas vivos (sistemas económicos incluidos) como si de un simulador de vuelo se tratara y en donde la clave de la comprensión se encuentra en la capacidad de perturbar el modelo para extraer conclusiones, propiedades, principios y nuevas intuiciones de orden cualitativo para entender más profundamente el comportamiento de sistemas complejos.

Como ya hice anteriormente con la ecuación logística considero que estos modelos matemáticos se entienden mejor si se practican mediante simulaciones con la ayuda de una hoja electrónica. A tal fin he trasladado a una hoja Excel el modelo Lotka-Volterra para realizar simulaciones y observar la evolución de las poblaciones presa y predador en función del tiempo y los parámetros iniciales, así como para observar el Principio de Volterra (perturbando el sistema) y los atractores de ciclo límite. A practicar pues: Ecuación Lotka-Volterra en Excel

Para saber más: Ecuación Lotka-Volterra en Wikipedia [inglés]

Alfred James Lotka en Wikipedia [inglés]

Vito Volterra en Wikipedia [inglés]

Isomorfismo en Wikipedia [castellano]

Atractor en Wikipedia [castellano]