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1 de enero de 2014

¡¡No es el déficit... es la demanda, estúpido!!

A quien corresponda,

Lo que sigue es una reflexión sintética a modo de considerandos, leyes y corolarios. Estaba tentado a llamarla ley de Monzó sobre los sistemas energéticos, pero me pareció presuntuoso. Dejémoslo en una perspectiva sistémica del sistema energético nacional, fruto de una larga experiencia lidiando con sistemas de producción y de costes.

Vayamos pues al grano:

(las personas que quieran ahorrarse una lectura técnica, pueden consultar al final una versión simplificada con una metáfora):

Considerando 1º: En aras de la clarificación de los costes de producción de energía, en primer lugar propongo que se debería separar los costes del sistema energético por naturaleza y comportamiento económico y matemático ante la demanda, para no “mezclar churras con merinas” (full costing), teniendo presente como criterio discriminador el distinto impacto que la variación de la demanda representa a cada componente del coste, pues es bien sabido que existen costes del sistema energético que se comportan globalmente de manera variable en función de la demanda [1], mientras que otros costes del sistema son globalmente fijos o cuasi fijos respecto a la demanda [2]. En otras palabras, se trata de someter a un criterio de transparencia y racionalidad lo que en muchas ocasiones se trata como un dogmático e inapelable “coste real” como si se tratase de un ente monolítico cuyas partes constituyentes se comportasen todas de igual manera. Y no es así.

Considerando 2º: En la actual crisis económica es una tentación para los responsables del sistema energético transferir todos los costes y algo más al consumidor (sin transferirle las ventajas de la concavidad) por vía del incremento continuado de precios por unidad energética consumida, sin embargo es claro que esta política alcista (derivada de un mecanismo de formación de precios perverso, pues los Kw/h se producen a costes diversos, pero mediante el sistema de subasta actual todos se pagan igual: al precio más alto), lejos de contribuir a ser parte de la solución facilitando una salida a la crisis del sistema mayor (el sistema económico en su conjunto) o convertir al sistema energético en un vector de competitividad del sistema mayor, puede convertirse, se está convirtiendo de hecho, en parte del problema si el alza continuada de precios alienta y acelera el subconsumo de energía (pobreza energética), contribuyendo de manera procíclica al estancamiento económico con un coste de energía para las pymes y consumidores domésticos superior al promedio europeo, cuando paradójicamente contamos con un parque de centrales nucleares, térmicas e hidrológicas mayoritariamente amortizado, un notable sobredimensionamiento para cubrir picos de demanda y un mix tecnológico renovable/no renovable equilibrado en un sistema energético que nos permitiría disponer de una de las energías más fiables, económicas y limpias de Europa. Así, lo que he denominado una Tarifa Aceleradora del Subconsumo (TAS) podría ser el escenario final a una política de precios suicida para el propio sistema energético, con colapso sistémico como telón de fondo.

En consecuencia,

Ley 1ª: En un sistema energético no renovable, el único coste marginal lineal en función de la demanda es el combustible[3]. Todos los demás costes marginales, incluidos los costes operativos de la generación/transporte/distribución(GTD)[4], los indirectos, amortizaciones, financieros y generales del GTD, las subvenciones, primas e impuestos, es decir, todos los demás componentes del coste marginal del sistema[5] son cóncavos respecto a la demanda, incluido el “déficit de tarifa”[6].

Ley 2ª: En un sistema energético renovable, todos los costes marginales son cóncavos en función de la demanda, incluido el “déficit de tarifa”.

Ley 3ª: En un sistema energético con la mayoría de costes marginales cóncavos en función de la demanda, el precio tiene un doble objetivo en aras de la supervivencia del propio sistema: debe reflejar la interacción entre oferta/demanda y a la vez debe evitar el subconsumo.

Corolario 1º: Dado el mayor peso específico en el sistema energético de los costes de naturaleza no combustible, cuanto más se estimule el consumo energético, menor será el coste marginal por unidad de energía producida y mayor será el beneficio antes de impuestos (y consecuentemente mayores los impuestos recaudados).

Corolario 2º: Dado el mayor peso específico en el sistema energético de los costes de naturaleza no combustible, cuanto más se desanime el consumo energético (p.ej. vía tarifa de precios depresora del consumo y/o vía generación de más pobreza energética y/o vía creación artificial de escasez), mayor será el coste marginal por unidad de energía producida y menor será el beneficio antes de impuestos (y consecuentemente menores los impuestos recaudados).

Corolario 3º: Si la demanda promedio a un precio promedio dado sigue sin cubrir los costes correspondientes de naturaleza no combustible y excluyendo por inviable la opción de seguir incrementando el “déficit de tarifa” para “desplazar hacia el futuro” los costes de esta naturaleza, el sistema energético español estará abocado a una de estas cinco posibilidades (no necesariamente excluyentes) para que sea sostenible por sí mismo en la próxima década: (a) estimular la demanda y atraer a grandes consumidores de energía vía reducción de precios unitarios (obviamente sin incrementar el coste de naturaleza no combustible) y/o vía exportación de energía a Europa y Norte de África[8]; (b) reducir progresivamente los componentes del coste de naturaleza no combustible; (c) aumentar el sistema energético renovable y reducir el no renovable a fin de reducir aún más el componente de coste directo del combustible y sin aumentar el coste de naturaleza no combustible; (d) abrir el mercado a una competencia interna real para estimular la reducción de precios vía competencia, incluida la competencia de la autogeneración de los consumidores domésticos; o (e) quebrar y nacionalizarse ante el probable escenario de una reducción de la demanda inducida por una política de precios insensible a las circunstancias del mercado real y potencial.

Tengo la convicción que seguir incrementando año tras año el precio unitario de la energía muy por encima de la inflación como si las empresas energéticas oferentes tuvieran una invisible e inmutable “renta de situación” que les permita exprimir sin límite a los clientes como si estuvieran en un mercado cautivo, conduce inevitablemente a una situación de estrangulamiento sistémico de la demanda por tres vías: (a) fuga de clientes del segmento de grandes consumidores de energía hacia otros países con una mejor relación calidad/precio unitario de energía; (b) reducción de consumo a través de una mayor eficiencia energética de clientes y/o la cogeneración del segmento de grandes y medianos consumidores de energía; y (c) aliento y aceleración del subconsumo o TAS[10] vía reducción de consumo a través de medios sustitutivos, y/o pobreza energética[11] y/o autogeneración de la mayoría de clientes domésticos.

Sería una lástima que tras un duro ajuste por el lado del factor trabajo que nos ha situado en una situación de ventaja competitiva vía costes laborales, viniese la factura energética a “aguar la fiesta” con unos precios inaceptables para el país eficiente y competitivo en costes que queremos ser. Sería deseable que los responsables del sistema energético español actuasen de oficio y decidiesen de manera unilateral una reducción de precios para incentivar el consumo en lugar de esperar al colapso del sistema.

Ahora o nunca: ustedes tienen en su mano acometer los cambios para un diseño de costes que no gravite sobre un full costing indiscriminado que no refleja con claridad el origen por naturaleza de cada coste y el distinto comportamiento económico y matemático de los costes marginales que debería poder reflejarse en la factura al consumidor: ante un mundo que exige más y mejor transparencia no se puede seguir pensando en métodos que la impiden. Y, en fin, diseñar el futuro del sistema tarifario de la energía con tendencias que graviten sobre la estimulación de la demanda en lugar de alentar al subconsumo.

Es su turno.


[1] Por su carácter de costes directos y variables, a nivel global son sensibles a las variaciones de la demanda: a más demanda de energía más de este tipo de costes y viceversa. Sin embargo, en lenguaje de costes marginales (producir/consumir una unidad energética más) ocurre que a mayor demanda el coste marginal de esta naturaleza se mantiene relativamente constante, es decir, se beneficia poco del elevado consumo, mientras que el subconsumo apenas le perjudica (a excepción de algunas materias primas que puedan perder su capacidad energética por sobrestock). O en lenguaje de elasticidad-demanda-coste: el coste marginal de esta naturaleza es poco elástico ante variaciones de la demanda (la única elasticidad proviene de los descuentos por volumen de compra de materias primas o el sobreprecio por estas compras fuera de previsión). Resumiendo: Estos costes crecen globalmente (como coste total) pero suelen mantenerse constantes unitariamente (como coste marginal) si aumenta la demanda y, en principio, el subconsumo no les perjudica. Por lo general su comportamiento unitario (coste marginal de esta naturaleza) se pueden representar como una función lineal (coste marginal en el eje de ordenadas y demanda en el eje de abscisas). Estos costes se pueden estimar actualmente entre un 15% y un 25% del coste total actual (estimación propia).

[2] Por su carácter de costes estructurales o fijos, a nivel global son insensibles a las variaciones de la demanda. Sin embargo, en lenguaje de costes marginales (producir/consumir una unidad energética más) ocurre que a mayor demanda el coste marginal de esta naturaleza es decreciente y viceversa, es decir, se beneficia mucho del consumo elevado y por contra le perjudica mucho el subconsumo (más coste estructural a repartir entre menos unidades producidas/consumidas). O en lenguaje de elasticidad-demanda-coste: el coste marginal de esta naturaleza es elástico ante variaciones de la demanda. Resumiendo: Estos costes se mantienen constantes globalmente (como coste total) pero decrecen unitariamente (como coste marginal) si aumenta la demanda pero, ojo, el subconsumo le perjudica y mucho. Por lo general su comportamiento unitario (coste marginal de esta naturaleza) se puede representar como una función cóncava (coste marginal en el eje de ordenadas y demanda en el eje de abscisas). Estos costes se pueden estimar actualmente entre un 75% y un 85% del coste total actual (estimación propia).

[3] Se entiende por coste de combustible el coste directo, perfectamente identificable y trazable del suministro de terceros de cualquier materia prima o consumible directamente relacionado con la generación de energía, sea combustible nuclear (incluyendo el coste de arranque/parada), gas, fuel, carbón nacional (incluyendo el coste de la subvención al mismo), etc. En este sentido las subvenciones actuales al carbón u otras directamente imputables al combustible deberían ir a esta partida según el criterio de esta propuesta.

[4] Se entiende por coste de generación/transporte/distribución (GTD) el coste operativo, perfectamente identificable y trazable de la operación y mantenimiento de la red eléctrica de alta, media y baja tensión, incluyendo el coste operativo y de mantenimiento de las centrales. Por coste operativo y de mantenimiento se entiende el coste directo vinculado al funcionamiento del sistema GTD, esto es, se excluiría del coste relacionado con la obsolescencia o averías por no uso, etc. por estar más vinculadas a conceptos de inversión y renovación tecnológica (o la falta de ellas).

[5] Amortización por inversiones en activos fijos, deuda financiera, sueldos y salarios no vinculados directamente al sistema GTD, gastos generales, publicidad, consejeros, etc. es decir, el resto de costes no incluidos en el apartado anterior. Obsérvese que aunque algunos de estos costes pudieran contemplarse como directos en algunos sistemas de contabilidad de costes, en esta propuesta se asumirían como indirectos por su carácter de coste marginal cóncavo respecto a la demanda.

[6] El “déficit de tarifa” (CNE: Informe sobre el sector energético español 2012) es un auténtico “cajón de sastre”, un artificio contable fruto de una decisión política tomada en un momento en que “para salir en la foto” del Euro y no superar cierto umbral de inflación y deuda se decidió con la muy hispánica técnica de la “patada hacia adelante” desplazar hacia el futuro el “coste real” de la energía. El problema es que el futuro ya es hoy y lo que se inició con una solución temporal se ha ido transformando en una solución estructural donde se han mezclado posteriormente cosas tan dispares como las primas a la inversión en energías renovables, las diferencias de ingresos y costes (no diferenciados), subvenciones de todo tipo, etc. En lo que sigue y dado que es imposible retornar al pasado para resolver el entuerto generado o discriminar los costes genuinos de otros conceptos endosados subrepticiamente a la tarifa (a falta de una verdadera auditoría pública de costes del sistema energético es más que probable que el beneficio de explotación esté encubierto entre la selva de conceptos que conforman el “coste real”) propongo no seguir hablando más del “déficit de tarifa” y tratarlo como una deuda histórica que ya no debe crecer más [7] y que por su carácter distorsionador del “coste real” debería ser absorbida en un plazo de tiempo suficiente para que no tuviera un impacto importante en la factura eléctrica, con un criterio de amortización amplio: p.ej. 30 años y una financiación mixta (el principal de la deuda con cargo a la factura eléctrica durante 30 años y los intereses con cargo a los presupuestos generales del Estado).

[7] En la actualidad (diciembre 2013) el stock de deuda con origen en el mal llamado “déficit de tarifa” se acerca peligrosamente a los 30.000 millones de euros.

[8] En la actualidad (REE: Informe del sistema eléctrico 2012) existe un saldo neto exportador (exportamos más energía de la que importamos). Sin embargo entiendo que existe todavía mucho margen de crecimiento, tanto en el aprovechamiento de la sobrecapacidad[9] de generación de energía (gracias a las denostadas renovables: Estudio del Impacto macroeconómico de las Energías Renovables en España 2011) como en la competitividad vía precios, como en la acción comercial para ampliar la base de clientes en el exterior.

[9] En algunos círculos (Los males del sistema eléctrico: sobrecapacidad, subvenciones y mix poco competitivo) se critica la sobrecapacidad energética que ha provocado la irrupción de las energías renovables en el sistema eléctrico español como la causa de todos los males. No estoy de acuerdo, en primer lugar porque ya he comentado antes que mientras no se realice una verdadera auditoría pública al llamado “coste real” no sabremos si nos están dando “gato por liebre” en los costes, por tanto lo único razonable es sugerir, como hago en esta propuesta, un rediseño de los costes en función de su distinto comportamiento ante la demanda. Y en segundo lugar, desde una perspectiva sistémica, la existencia de sobrecapacidad en un sistema es la mejor opción cuando la demanda no es totalmente previsible o tiene fuertes picos de subida como de bajada (fluctuaciones estadísticas) tanto en la oferta como en la demanda por la metereología (exceso de calor o frío afecta a la demanda, falta de viento, lluvia o sol afecta a la oferta renovable) y el coste (social y económico) de la no cobertura de la demanda es importante: cuando algunas personas arremeten contra el sobrecoste operativo de esta sobrecapacidad del sistema eléctrico siempre les digo que muchos sistemas que damos por buenos socialmente tienen capacidad ociosa y no por ello cuestionamos su coste o su existencia: los bomberos de guardia ociosos, los servicios de urgencias médicas de guardia ociosos, los servicios de seguridad ciudadana de guardia ociosos, etc. pues exactamente lo mismo con la sobrecapacidad del sistema energético: está ahí ocioso pero listo, de guardia, en standby, para dar servicio cuando lo necesitemos, luego, por favor, no generemos artificialmente una escasez que no es aconsejable ni creíble. Y si alguien tiene dudas sobre las ventajas de la sobrecapacidad que vea lo que pasa en otros lugares cuando los ciudadanos reclaman capacidad eléctrica (La ola de calor eleva las protestas contra el Gobierno argentino por los cortes de luz): Esto es lo que suele ocurrir cuando un sistema está “demasiado ajustado” u optimizado para atender una demanda promedio y no tiene en cuenta las fluctuaciones estadísticas de la demanda: tarde o temprano los “picos de la demanda” colapsan el sistema.

[10] La Tarifa Aceleradora del Subconsumo (TAS) se puede definir como aquel precio de venta a partir del cual se provoca un subconsumo, contribuyendo vía precios a deprimir la demanda. Por lo general se puede representar como una función cóncava (demanda en el eje de ordenadas y precio de venta en el eje de abscisas). No hace falta volver a recordar el impacto negativo que representa el subconsumo en un sistema donde los costes fijos o cuasi fijos tienen mayor peso y la falsa salida que representa la “huida hacia adelante” de seguir trasladando al precio los nuevos costes marginales, contribuyendo a acelerar (dinámicamente, por retroalimentación) el subconsumo, pues al quedar menos demanda para soportar la misma estructura y si los responsables del sistema siguen miopes aplicando la misma política de precios, no verán otra salida que seguir repercutiendo los costes entre los consumidores que queden, así hasta el colapso o quiebra final del sistema.

[11] La pobreza energética es la dificultad o la incapacidad de mantener la vivienda en unas condiciones adecuadas de tempe­ratura (como referencia, se podría tener en cuenta la definición de la Organización Mundial de la Salud, que considera tempe­ratura de confort, 21 °C en la sala de estar y 18 °C en el resto de estancias, o bien, cualquier otra definición que se considere técnicamente adecuada) así como de disponer de otros servicios energéticos esenciales como la iluminación, el transporte o la electricidad para Internet u otros dispositivos a un precio razo­nable. Esta es una definición de carácter general, que puede ser completada utilizando también otros criterios que permitan ac­tualizar el concepto cuando sea necesario. Fuente: Dictamen del Comité Económico y Social Europeo sobre el tema «La pobreza energética en el contexto de la liberalización y de la crisis económica» (Dictamen exploratorio)


Versión Simplificada

Un edificio con 100 vecinos cuesta mantenerlo 100 euros/año, de los cuales 80 euros son coste fijo (incluyendo impuestos para el ayuntamiento, el mantenimiento y un beneficio para el propietario) y 20 euros son coste variable (puede subir o bajar) en función del consumo de energía para luz y climatización de los vecinos. Los vecinos pagan 100/100=1 euro cada uno y el sistema es estable.

Con el tiempo el propietario, aconsejado por el ayuntamiento, hace unas reformas en el edificio y en consecuencia aumenta el coste fijo (hay que amortizar la inversión, pagar intereses a los bancos, aumenta el coste de mantenimiento, etc.), y también el coste variable porque todo sube (menos los salarios)... Y, ahora el coste fijo es 125 y el variable 25. Ya estamos en 150 euros/año.

El propietario, aconsejado por el ayuntamiento, dice que esa diferencia (de 100 euros a 150) no lo paguemos todo ahora, sino que paguemos una parte en la factura y el resto en el futuro (en eso consiste el “déficit de tarifa”). Digamos que mitad/mitad, o sea, que en lugar de pagar 150/100=1,5 euros/vecino, los vecinos paguen solamente 1,25 euros/año cada uno y el 0,25 restante (por vecino) se aplaza al futuro, avalada por el ayuntamiento (deuda a largo plazo, más los intereses para la banca, claro, para que haya negocio para todos).

Pero en el ínterin, hay una crisis económica y hay vecinos que ya no pueden soportar esa subida del 25% y deciden consumir menos, otros se marchan, etc. así que pongamos que ahora quedamos 75 vecinos para soportar 150 euros/año de coste total, o sea, que en realidad tendríamos que pagar 2 euros por vecino (150/75), y en consecuencia, el propietario decide que hay que seguir subiendo el precio porque con la baja de vecinos “somos menos para pagar la misma estructura de costes” (que al ser mayoritariamente de costes fijos apenas se nota si se consume menos)... y, consecuentemente vuelve a subir al año siguiente a 1,50 euros por vecino y para apaciguarnos nos dice que los otros 0,50 se aplazan al futuro (más los intereses, que van engordando la deuda anterior).

Al año siguiente se marchan otros 25 vecinos... y entonces el coste a repercutir es ya de 150/50 = 3 euros (sin contar la deuda aplazada y los intereses)... una cantidad que ya solo algunos cuantos privilegiados pueden pagar.

¿Cómo termina la película?. Pues muy mal, quedando cada vez menos vecinos para soportar la misma estructura de costes (que, recordemos, no varía sustancialmente porque haya menos vecinos y consuman menos), al que añadir la deuda diferida (“déficit de tarifa”) más los intereses, que no dejan de crecer (ya se sabe, el efecto del interés compuesto) y que si la sumamos a la factura nos daría un patatús... al final sólo hay dos salidas: (1) bajan los precios para atraer nuevos vecinos al edificio y así soportar entre más vecinos la estructura de costes y el déficit acumulado... o (2) el propietario quiebra por exceso de coste estructural y falta de ingresos suficientes... quedándose el ayuntamiento con los activos (el edificio) y los pasivos (la deuda acumulada y el coste de estructura)... y ya se sabe que el ayuntamiento somos todos.


7 de diciembre de 2013

Desigualdad de Jensen: cuando más significa menos y viceversa

Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859-1925) más conocido como Johan Jensen, fue un ingeniero danés apasionado de las matemáticas que ha pasado a la historia por ser el primero en interesarse por un fenómeno característico de las funciones continuas no lineales (convexas o cóncavas), conocido hoy como “Desigualdad de Jensen”, una propiedad que aparece en múltiples contextos y que de pocos años para acá ha comenzado a encontrar aplicaciones interesantes, desde el ámbito financiero al campo sanitario y otros por descubrir. En lo que sigue me he basado en el excelente libro “Antifrágil” de Nassim Nicholas Taleb y otros documentos disponibles en la red para realizar una aproximación didáctica y a la vez divertida de esta interesante propiedad de las funciones no lineales.

Se suele decir que de niños aprendimos fácilmente lo que es una función lineal: cuando existe proporcionalidad entre “algo” (p.ej. la fuerza con la que lanzamos a ras de suelo una bola de billar o de bowling) y la “función de ese algo” (p.ej. la distancia que alcanza la bola), funciones que aprendimos a calcular y a representar como una recta en el sistema de coordenadas inventado por un señor francés llamado René Descartes y que en un esfuerzo de reduccionismo creímos o nos hicieron creer que todo lo que sucedía en el mundo podría entenderse aplicando linealidades escolares, o haciendo algo más sofisticado como simplificar las ecuaciones hasta hacerlas lineales. Toda una generación, la de nuestros padres, que como mucho inferían las cosas aplicando la simple regla de tres, todo un paradigma de la linealidad.

Tal vez por esa razón nos cuesta mucho más aprender las funciones no lineales, ya sabe, aquellas donde no hay proporcionalidad y la representación en el sistema de coordenadas de ese señor francés tan simpático no sea una línea recta sino algo más difícil de dibujar, una parábola, esto es cuando, siguiendo el ejemplo del balón, no existe proporcionalidad entre “algo” (p.ej. la fuerza con la que pegamos un puntapié a una pelota hacia arriba) y la “función de ese algo” (p.ej. la distancia que alcanza la pelota, sometida entonces a otras consideraciones como el ángulo de la trayectoria vertical u otras más sutiles como la resistencia del viento, etc.), es decir, puede ser suficiente incorporar una dimensión adicional (en este caso la inclinación o la altura) para que el mismo esfuerzo (el impulso a la pelota) tenga un resultado (en este caso la distancia) distinto.

La cosa se complica aún más cuando hablamos de cosas más reales y cotidianas como, por ejemplo, la recientemente comentada relación no proporcional (no lineal) entre la inversión en educación y el ranking del Informe PISA 2012 revelan algo inquietante para una mente lineal: “Los resultados de España son inferiores a los que se esperarían en función de su PIB per cápita”. Es decir, a igualdad de “algo” (PIB per cápita) otros países obtienen mejor rendimiento en las pruebas de PISA, es decir, España obtiene menos de la “función de ese algo” que cabría esperar. ¿Por qué?. Pues porque la realidad es no lineal por naturaleza. Así, en el caso concreto del Informe PISA 2012 se nos recuerda algo obvio desde el punto de vista no lineal: “Es importante cómo se gasta y no cuánto se gasta”. Otra vez nos encontramos con una limitación de la mente lineal, que no suele entender estas “sutilezas” de la realidad.

Otro ejemplo: A los portavoces del gobierno español últimamente les ha dado por repetir hasta la saciedad que hay que “redoblar esfuerzos” para salir de la crisis: todo un canto a la política de austeridad, un tópico de los últimos discursos políticos (más de 600.000 referencias en Google). En lenguaje matemático: si sustituimos la variable independiente (x) por “esfuerzo” y la variable dependiente f(x) por “resultado”, así x = esfuerzo y f(x) = resultado, es decir, cuando nos dicen “hay que redoblar el esfuerzo” están diciendo que hay que “hacer más esfuerzo, doblarlo, insistir en ello (en la misma dirección, en la misma política)”... o sea, “más de x”... ¿para qué?... eso no lo dicen pero es de suponer que es para “alcanzar un mayor y mejor resultado”... o sea, “más de f(x)”... pues (siguiendo con su lógica lineal) dado que los resultados todavía son pobres, si aumentamos los esfuerzos (la política de recortes) los resultados mejorarán (habrá más crecimiento y empleo)... y ahí es donde tropieza la falacia de una mente lineal... y es lo que estoy criticando, que la realidad no se comporta de manera lineal.

En un sistema lineal tiene su lógica, dado que a “+ de x” = “+ de f(x)”. Sin embargo, en un sistema no lineal (los que abundan en la realidad y en la Economía: curva de demanda, curva de oferta, curva de Laffer, curva de Phillips, curva de Engel, trampa de liquidez, ley de los rendimientos decrecientes, etc.) es incierto, porque “+ de x” no siempre significa “+ de f(x)”, como veremos a continuación. Y es que confundir las propiedades de la variable dependiente con las de la variable independiente es típico de políticos de mentalidad lineal. He aquí una simple pregunta para desenmascarar a los políticos que no ven más allá de la regla de tres: ¿doblar el esfuerzo implica doblar el resultado?... para los políticos que no lo entienden espero que cuando su médico les diga que se tomen una pastilla para dormir bien o una dosis de antibiótico para combatir una infección no se tomen doble ración por su cuenta esperando con ese proceder “el doble del resultado”... a lo mejor por ahí sí que entienden el mensaje de la no linealidad [1].

La Desigualdad de Jensen viene a ser la clave de bóveda que nos permite entender mejor las propiedades no lineales de la naturaleza. De manera informal, podemos definir esta desigualdad así: cuando la relación que liga una variable dependiente “y” (o variable efecto) con una variable independiente “x” (o variable causa) no es lineal, se cumple siempre que el valor esperado de “y” correspondiente al promedio de “x” es diferente (mayor o menor, según la forma de la función: cóncava o convexa) del promedio de los valores observados de “y”. Digámoslo de manera más informal: cuando no existe una relación de proporcionalidad entre dos variables, el promedio de la que se comporta como efecto resultará subestimado o sobreestimado si lo obtenemos a partir del promedio de la variable que funciona como causa. En otras palabras, es casi seguro que nos equivocaremos cuando estimemos el valor de la variable dependiente a partir de la variable independiente.

¿Y de dónde proviene esa subestimación o sobreestimación?. Pues proviene de nuestra habitual mente lineal, acostumbrada a la fácil extrapolación de la regla de tres (un poco de más aquí, es un poco de más allá; un poco de menos aquí, es un poco de menos allá), donde damos por supuesto que el comportamiento de la función va a ser equivalente, independientemente de que se trate de una función lineal o no lineal.

Veamos gráficamente las diferencias entre una función lineal y otras funciones no lineales para encontrar el fallo de nuestra forma de pensar. Comenzamos pues con una sencilla función lineal, donde veremos que en ellas si es cierto que la función del promedio de la variable (x) es igual a la media de la función (y), como muestra por ejemplo y=f(x)=2x


En este caso, la función del promedio de la variable (5,5) es 11, que es igual a la media de la función (11), como se puede ver en el ejemplo de la Excel que acompaña este post. Sin embargo cuando la función no es lineal, la cosa ya no es tan trivial, pues en una función no lineal (cóncava o convexa) la función de la media de una variable no es igual a la media de la función.

Así, si la función no lineal es convexa (forma de sonrisa), la función de la media de la variable será menor a la media de la función, o al revés, la media de la función será mayor que la función de la media de esa variable, como muestra por ejemplo y=f(x)=x2


En este caso, la función del promedio de la variable (5,5) es 30,25 mientras que la media de la función es 38,5. Es decir, si hubiéramos estimado el resultado promedio de la función a partir de la función del promedio de la variable nos habríamos equivocado en más de un 27% de error como se puede ver en el ejemplo de la Excel que acompaña este post. Mientras que si la función no lineal es cóncava (forma de puchero), la función de la media de la variable será mayor a la media de la función, o viceversa, como muestra por ejemplo y= f(x)=√(x) si bien esta es una función sólo ligeramente cóncava.


En este caso, la función del promedio de la variable (5,5) es 2,35 mientras que la media de la función es 2,25. Es decir, si hubiéramos estimado el resultado promedio de la función a partir de la función del promedio de la variable nos habríamos equivocado en más de un 4% de error como se puede ver en el ejemplo de la Excel que acompaña este post.

¿Qué implicaciones tiene la Desigualdad de Jensen?. Me atrevería decir que muchas y variadas. Tal vez la más importante sea aprender a reconocer dos sesgos típicos de convexidad (o concavidad): confundir la media de algo (p.ej. la fuerza con la que empujamos algo, el esfuerzo en perseguir un resultado, etc.), con la función de ese algo (p.ej. la distancia a la que se desplaza ese algo, el resultado de un esfuerzo), o también, el sesgo más sutil: confundir la función de la media con la media de una función... pues, como hemos visto, ante una función convexa nos podemos encontrar con la sorpresa de que al intentar estimar el resultado promedio a partir de la función de la media estemos subestimando el resultado y, viceversa, cuando estamos ante una función cóncava (convexidad negativa) nos encontraremos con la sorpresa de estar sobreestimando el resultado promedio a partir de la función de la media.

Otra implicación importante es la consideración estratégica, es decir, preguntarse por ¿qué pasará con la variable efecto si aumenta la variable causa (la variable que hasta cierto punto podemos controlar)?: si la respuesta es una aceleración positiva, entonces estamos ante una función convexa (suponiendo una función monótona en el intervalo estudiado), lo que implica un cierto “efecto palanca”, esto es, que podemos conseguir más de f(x) con menos esfuerzo de (x) y para ello deberíamos buscar los puntos de apalancamiento donde con menos esfuerzo se alcance un mayor resultado; mientras que si la respuesta es una aceleración negativa, entonces estamos ante una función cóncava (suponiendo monotonía) y en consecuencia deberíamos plantearnos un cambio, bien minimizando la variable causa (x) o bien, si esto no es posible por ser (x) una variable que escapa a nuestro control (exógena), entonces reducir o evitar nuestra exposición a los estados no deseables de f(x).

En conclusión, y volviendo al Informe PISA o al mantra del “redoble de esfuerzos” de nuestros políticos, la Desigualdad de Jensen nos recuerda que cuando el más de lo mismo no conduce a un mejor resultado (en lo personal, en lo empresarial, en lo político) es porque estamos ante una realidad no lineal y por tanto es el momento de realizar cambios cualitativos, pasando del cuánto (hacer más) al cómo (hacer diferente).

Como ya hice anteriormente con la ecuación logística, el modelo Lotka-Volterra y la inecuación de Gott para realizar simulaciones y observar el comportamiento del modelo nada mejor que un ejemplo basado en Excel. A practicar pues: Desigualdad de Jensen en Excel


[1] Desde un punto de vista sistémico, una relación lineal entre dos variables es una “rara avis” en la naturaleza, algo posiblemente único que sólo puede darse en un ambiente artificial, en un entorno controlado o aislado, es decir, en un sistema cerrado, sea real o por lo general abstracto. Sin embargo, en un sistema abierto como en la naturaleza o en la economía, lo habitual es encontrarse con relaciones no lineales, donde la intervención de más variables adicionales que interactúan con las variables estudiadas y/o de fenómenos de retroalimentación entre la (mal) llamada “variable causa” y la (mal) llamada “variable efecto” (en la retroalimentación, causa y efecto son indistinguibles, véase por ejemplo Ecuación Lotka-Volterra), generan esa percepción de no proporcionalidad entre la variable causa y la variable efecto escogidas de entre las muchas posibles. En otras palabras, es nuestro afán reduccionista, simplista, el que al abordar la complejidad del mundo escogiendo dos únicas variables observadas en lugar de todas las posibles y su calificación de causa (variable independiente) y efecto (variable dependiente) el que propicia la percepción de “extrañeza” por la no linealidad.

Para saber más: Johan Jensen en Wikipedia (inglés)

Biografía de Johan Jensen (inglés)

Desigualdad de Jensen en Wikipedia

Desigualdad de Jensen en Encyclopedia of Math (inglés)

Desigualdad de Jensen en Math World (inglés)

Función no Lineal en Wikipedia

No Linealidad en Wikipedia

Función convexa en Wikipedia

Función cóncava en Wikipedia

Esperanza Matemática en Wikipedia

El problema de la media, el problema con la media

Desigualdades