27 de abril de 2008

Teoría del caos: una mariposa en el reloj

¿La gota que colma el vaso?En los orígenes de la Humanidad, la Naturaleza era considerada como caprichosa y al albur de un azar incomprensible para el intelecto de nuestros antepasados. Una amplia variedad de ritos y creencias religiosas tienen su partida de nacimiento en esta necesidad de abordar una Naturaleza que, ausente de pautas conocidas o comprendidas, se atribuía a los deseos de dioses poderosos e inalcanzables.

En la noche de los tiempos reinaba el Caos y cualquier ley natural era inimaginable e impensable. Los pocos que se atrevían a descubrir las pautas cosmológicas, físicas, químicas o matemáticas, se las reservaban como oro en paño, para conocimiento de unos pocos o como instrumento de poder religioso, económico o político.

A lo largo de los siglos, muy lentamente, la Humanidad fue comprendiendo que la Naturaleza tiene muchas regularidades que pueden ser registradas, analizadas, predecidas e incluso explotadas. De esta manera, alcanzado el siglo XVIII las disciplinas científicas se maravillan tanto de sí mismas que, encantadas de conocerse, se pensaba que poca cosa quedaba por desvelar. Por fin, la Humanidad había descubierto leyes naturales inmutables que determinaban el movimiento de cada partícula en el Universo de forma exacta y para siempre. El Caos de nuestros antepasados pre-científicos había sido sustituido por un mundo hecho de engranajes mecánicos. Nacía la física clásica y con ella la metáfora que explicaban el funcionamiento de la Naturaleza como un reloj.

Pero, a pesar de esta autosatisfacción, la interacción del conocimiento humano con la Naturaleza continuó evolucionando y con ella la visión del Universo. Con el nacimiento de la mecánica cuántica el mundo se convirtió en una “lotería cósmica” de forma que sucesos a nivel subatómico tenían lugar probabilísticamente y no según una ley mecánica. Este fundamento probabilístico de la mecánica cuántica y a pesar de su enorme éxito en el laboratorio no resultaba muy agradable para todo el mundo. Debemos entender que en sus inicios la física cuántica estaba buscando una nueva forma de comprender la Naturaleza, pero a partir de una base mecánica. Si recordamos la famosa sentencia de Albert Einstein “Dios no juega a los dados con el Universo” nos daremos cuenta que la actitud de la mayoría de científicos estaba dominada por la mecánica clásica, científicos para los que la indeterminación y complementariedad cuánticas de Werner Heisenberg y Niels Bohr respectivamente (interpretación de Copenhague) eran inoperativas cuando no erróneas para muchos científicos de renombre.

Cuando parecía que el debate entre mecanicistas-deterministas y cuánticos-indeterministas se iba a tornar en un eterno y estéril empate técnico, Edward Norton Lorenz un profesor interino del Massachussets Institute of Technology (MIT) de Boston “acabó con el universo cartesiano y dio pie a la tercera revolución científica del siglo XX –después de la teorías de la relatividad y la física cuántica”, señaló un portavoz del MIT al anunciar el fallecimiento del padre de la “Teoría del Caos” el pasado 16 del presente mes.

En efecto, Edward Lorenz, matemático y metereólogo, es el pionero de la “Teoría del Caos”. Sucedió en 1961, mientras repetía unas simulaciones meteorológicas en un rudimentario ordenador. A pesar de que la máquina y el modelo utilizado eran los mismos, las proyecciones meteorológicas divergían en un punto y seguían dos caminos opuestos. En un primer momento, pensó en un error del ordenador. Sin embargo, luego se dio cuenta de que no había introducido las condiciones iniciales del experimento exactamente. En lugar de escribir los seis decimales de la primera simulación (0,506127), en la segunda redondeó la cifra utilizando sólo tres (0,506). Así pues, la diferencia en las condiciones previas era menor al 0,1%, pero los resultados eran completamente diferentes. Estaba naciendo un concepto clave en la “Teoría del Caos”: la sensibilidad a las condiciones iniciales es una propiedad esencial de los sistemas caóticos, es decir, un pequeñísimo cambio al inicio determina una gran diferencia en el resultado final, una propiedad ciertamente anti-intuitiva que parece contradecir el sentido común. Como tantas otras veces en ciencia, la casualidad abre las puertas al descubrimiento (serendipidad).

La primera conclusión que extrajo de la experiencia es que pretender predecir el tiempo atmosférico con una completa exactitud era una mera fantasía, pues un simple error en la dirección del viento, la humedad o la temperatura de una región del mundo, podía llevar a una previsión completamente diferente. Las pequeñas diferencias de lo que tomó del ordenador y de lo que éste contenía no podían explicar esta diferencia. La primera conclusión que extrajo de la experiencia es que pretender predecir el tiempo atmosférico con una completa exactitud era una mera fantasía, pues un simple error en la dirección del viento, la humedad o la temperatura de una región del mundo, podía llevar a una previsión completamente diferente. Las pequeñas diferencias de lo que tomó del ordenador y de lo que éste contenía no podían explicar esta diferencia. Este resultado le llevó a decir: “he comprendido que cualquier sistema físico de comportamiento no periódico será impredecible”. Había nacido la “Teoría del Caos”.

En 1963, publicó su primer ensayo sobre su descubrimiento sin atraer demasiada atención. Su tesis se popularizó casi 10 años después, cuando el 29 de diciembre de 1972 en Washington ofreció una conferencia en una reunión de la Asociación Norteamericana para el Progreso de la Ciencia titulada “Predecibilidad. El aleteo de una mariposa en Brasil, ¿originó un tornado en Texas?” De ahí, que su teoría se popularizara mundialmente con el nombre de el llamado “efecto mariposa”. Estaba naciendo una nueva metáfora que iba a estropear la visión mecanicista de la Naturaleza entendida como un reloj, algo que el genial matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) contestando al sueño de Laplace (si conociésemos las posiciones y velocidades inicales de cada párticula en el universo podríamos llegar a averiguar el futuro) y anticipándose a su tiempo enunció en 1908: “Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan otras muy grandes en los fenómenos finales. Un pequeño error en las primeras produce un error enorme en los segundos. La predicción se hace imposible y aparece el fenómeno fortuito”.

Por otra parte, el matemático y biólogo australiano Robert May se dedicó a principios de los años 70’s al estudio de algo en apariencia más simple como es el comportamiento de una población de insectos en el transcurso del tiempo. Para ello recurrió al modelo logístico del biólogo norteamericano Raymond Pearl que a su vez parte de la conocida función logística continua del matemático belga Pierre François Verhulst, quien a su vez la desarrolló después de haber leído el “Ensayo sobre el principio de población” de Thomas Maltus.

Paralelamente Jim Yorke y Tien-Yien Li investigaban la ecuación Verhulst-Pearl desde un punto de vista matemático y en su forma discreta que permitía su fácil modelización mediante sucesivas iteraciones (el resultado del cálculo inicial entra de nuevo como dato de entrada en el siguiente cálculo y así sucesivamente). Pt+1 = r Pt (1 - Pt). Simulando diferentes valores para el parámetro lambda (r o razón de crecimiento de la población), es decir, su tendencia a aumentar y prosperar, Yorke y Li llegaron a una conclusión que despertó el interés de Robert May: “Período tres implica caos”, que sería publicado en un artículo en 1975. Efectivamente con una lambda de valor 3 se inicia el proceso de bifurcaciones, la “ruta hacia el caos”. A Robert May se le ocurrió preguntarse que sucedería con la población si la razón de crecimiento excedía ese punto crítico. Durante el ensayo de diferentes valores para ese parámetro, May y Yorke se percataron que podía cambiar de forma asombrosa el carácter determinista de la ecuación logística. Acrecentar el parámetro lambda equivalía a acrecentar la no linealidad y eso alteraba no sólo la cantidad del resultado, sino su cualidad. May enunció que a partir del valor crítico 3 comenzaba una “cascada de duplicaciones de períodos” en cada bifurcación. Estaba naciendo el “Caos Determinista”.

Como Lorenz había descubierto hacía una década, la única manera de interpretar los resultados –y conservar la vista- era recurrir a una gráfica. Nacía el diagrama de bifurcación (también conocido como diagrama de dispersión o nube de puntos) donde en lugar de mostrar la población en función del incremento del tiempo se muestra la población en función del incremento del parámetro lambda.

Diagrama de Bifurcación
En efecto, la ecuación logística y el diagrama de bifurcación muestran que para todo valor de lambda menor que 1 la población declina estacionariamente y converge en 0. Cuando lambda es mayor que 1 y menor que 3, la población cambia estacionariamente hasta que termina estabilizándose en un valor de equilibrio 1-1/lambda. Para valores de lambda mayores que 3 y menores que 3,5 (aproximadamente cuando lambda es menor que 3,4889) la población comienza a crecer estacionariamente hasta oscilar entre dos valores fijos por cada dos períodos. A este fenómeno se denomina “efecto José” (por aquello del personaje biblíco y su famoso sueño de las vacas flacas y vacas gordas). Cuando lambda es mayor que 3,4889 se producen oscilaciones comprendidas entre cuatro valores fijos con una periodicidad de cuatro. Para valores de lambda progresivamente mayores, el período se duplica una y otra vez de forma más o menos rápida, hasta alcanzar un valor crítico entorno a 3,6 (aproximadamente cuando lambda es mayor que 3,5699) en el que la población vaga de forma compleja y errática. Es decir, el sistema –el mismísimo sistema- a partir de ese valor crítico comienza a comportarse de forma aparentemente impredecible, alternando orden y caos. Pero más allá, si lambda es mayor que 3,6 y menor que 4 se producen ventanas de comportamiento periódico o casi periódico. Por ejemplo, existe un intervalo entre 3,8284 y 3,8415 en el que la población exhibe un patrón característico con una periodicidad de tres. Y, finalmente, cuando lambda es igual a 4 el modelo abarca todos los valores posibles de x donde la población vaga de forma completamente aleatoria.

El hecho de que este comportamiento aleatorio se pueda originar con un algoritmo determinista fue lo que llamó la atención a muchos investigadores desde Robert May hasta nuestros días y por esta razón el estudio de la ecuación logística forma parte de esta disciplina emergente. ¿Y más allá de lambda 4 qué sucede?. Si entre lambda 3,6 y lambda 4 nos encontramos en el reino del caos entendido como complejidad (orden complejo, no desorden), más allá de lambda 4 nos encontramos con el más absoluto desorden: la ecuación logística, si me permiten la expresión, se rompe (aproximadamente cuando lambda es mayor que 4,000012) dando valores absurdos, tanto negativos (por debajo de cero) como positivos (superiores a 1). Es decir, más allá de lambda 4 entramos en el reino del desorden. Así pues, la ecuación logística también nos sirve para entender la diferencia sutil no siempre bien comprendida entre caos y desorden: el caos no es desorden, sino un orden complejo en la frontera entre el orden y el desorden. O en palabras de la ecuación logística: una lambda entre 3,6 y 4 es caos y una lambda mayor que 4 es desorden. Así, de la mano de una sencilla ecuación determinista entramos en la tenue frontera entre el orden y el desorden: otra vez, como sucedía en el modelo de Lorenz, la diferencia se encontraba en unos pocos decimales de más. El “efecto mariposa” se cuela de nuevo en el reloj determinista.

Tanto impresionó a May este resultado, que llegó a decir: “El mundo mejoraría si se diera a todos los estudiantes una calculadora de bolsillo y se les animara a entretenerse con la ecuación logística”. Un idealista May afirmaba que ese cálculo fácil enmendaría la deformada visión de las posibilidades del mundo que se deriva de la educación científica corriente. Corregiría el modo como la gente concebía todo, desde la teoría clásica de los negocios hasta la propagación de los rumores. Como el recientemente fallecido Edward Lorenz, Robert May defendía tempranamente en 1976 que debería enseñarse la “Teoría del Caos”: “La intuición matemática, que tanto se cultiva, equipa mal al estudiante para enfrentarse con el extravagante comportamiento del más sencillo de los sistemas lineales discontinuos. No sólo en la investigación, sino también en el orbe cotidiano de la política y la economía, saldríamos ganando si más personas comprendieran que los sistemas no lineales simples no poseen obligatoriamente propiedades dinámicas sencillas”.

Después del trabajo pionero de Lorenz, May, Yorke y Li vendrían Mitchell Feigenbaum[4], Benoît Mandelbrot, David Ruelle, Michel Hénon, Stuart Kauffman y un largo etcétera que a su vez reivindicarían el trabajo anticipatorio de Henri Poincaré, Aleksandr Lyapunov, Stephen Smale, etc. y una amplia variedad de aplicaciones, desde el estudio de turbulencias en fluidos, el funcionamiento de las irregularidades en el latido de un corazón sano (frente a las regularidades de un corazón enfermo), el estudio del sistema inmunológico, el crecimiento de poblaciones de virus y bacterias, la investigación del cáncer, el tiempo metereológico, el funcionamiento de la bolsa, la propagación de los incendios, el funcionamiento del cerebro, etc. así como todo un campo de investigación matemática basado en el estudio de los atractores.

Y volviendo al principio de este post, como hemos visto en este rápido repaso por el inicio de la “Teoría del Caos”, hoy en día estamos descubriendo que sistemas que obedecen leyes precisas (física de la atmósfera) o ecuaciones sencillas (ecuación logística) no siempre actúan de forma predecible. Es decir, leyes deterministas pueden producir comportamientos aleatorios. El orden puede producir caos. Y viceversa. Si observamos este descubrimiento desde la óptica del conocimiento humano como una tarea inacabada nos daremos cuenta que esta joven teoría todavía no ha producido todo su potencial impacto en el pensamiento científico actual (y no digamos en el pensamiento ordinario al uso), algo que pone de manifiesto la falta de un paradigma que venga a sustituir definitivamente al paradigma mecanicista actual. No eliminándolo, sino incluyéndolo y ampliándolo para dar cabida a una mejor comprensión de los sistemas complejos.

Estoy seguro que en esta dura tarea el Pensamiento Sistémico puede y debe aportar algunas ideas fundamentales y como la aproximación sistémica a la realidad evita la tentación de la separatividad (aquí la Sra. Naturaleza, aquí los Sres. Humanos que van a sobre-explotarla sin contemplaciones), tal vez comenzando con una nueva metáfora que sintetice la emergencia de una forma diferente de abordar la comprensión de la Naturaleza que incluya a la Humanidad en fecunda –y no destructiva- interacción. Una comprensión que supere el antropocentrismo rampante que bajo su cobertura ideológica nos ha colado el gol de que el Hombre podía y debía servirse de la Naturaleza sin ningún cuidado, hasta el sobrepasamiento (overshoot) de los límites de la sostenibilidad.

Sirva la ecuación logística[5] de Robert May para ejemplificar lo que puede significar para la Humanidad agotar y contaminar los recursos naturales sin pensar en las generaciones venideras: la extinción total es un escenario plausible para un geólogo y paleontólogo de la talla y conocimiento de Eduald Carbonell. ¿Cuál será la gota que colme el vaso de la Naturaleza?. El cambio climático es un serio aviso. La mariposa está aleteando fuertemente. Es tarea urgente una nueva metáfora, un nuevo paradigma científico y una nueva conciencia que supere nuestro divorcio ancestral -de resonancias casi bíblicas- con la Naturaleza.

Os dejo con una palabras de Ilya Prigogine, premio Nobel de Química en 1977 por su gran contribución a la acertada extensión de la teoría termodinámica a sistemas alejados del equilibrio, que sólo pueden existir en conjunción con su entorno:

“Es bien sabido que el corazón tiene que ser regular, de lo contrario morimos. Pero el cerebro tiene que ser irregular; de lo contrario contraemos epilepsia. Esto muestra que la irregularidad, el caos, conduce a sistemas complejos. No se trata de desorden. Por el contrario, el caos posibilita la vida y la inteligencia. El cerebro ha sido seleccionado para volverse tan inestable que el menor efecto puede conducir a la formación de orden.”


[1] Mientras que en la física clásica un sistema de partículas funciona como un aparato de relojería, independientemente de que sean observadas o no, en la física cuántica el observador interactúa con el sistema en tal medida que el sistema no puede considerarse con una existencia independiente.

[2] La función logística o curva logística modeliza la función sigmoidea de crecimiento de un conjunto P. El estadio inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; al cabo de un tiempo, aparece la competición entre algunos miembros de P por algún recurso crítico K ("cuello de botella") y la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se detiene. Estas funciones tienen un campo de aplicación muy amplio, desde la biología a la economía.

[3] En el libro de James Gleick “Caos. La creación de una ciencia” (Ed. Seix Barral) y en su lejana edición de 1988 se realizaba una amplia y profunda incursión sobre la “Teoría del Caos”, sus protagonistas y campos de aplicación. Altamente recomendable como obra de iniciación y si tienes algo de paciencia, “La esencia del caos” de Edward N. Lorenz (Ed. Debate). Y, para gente inquieta con formación cuantitativa nada mejor que “Orden y Caos en sistemas complejos” de Ricard V. Solé y Susanna C. Monrubia (Edicions UPC).

[4] El físico norteamericano Mitchell Feigenbaum realizó una contribución importante a la “Teoría del Caos” al descubrir un valor constante en las ramificaciones en el diagrama de bifurcación de la ecuación logística a partir del valor crítico descubierto por Robert May anteriormente comentado (lambda mayor que 3 y menor que 4) al comparar los intervalos entre las ramificaciones sucesivas comprobó que cada una se produce en algo menos de 1/4 que la precedente ramificación. Dicho de una manera más precisa, al alcanzarse el punto crítico, la razón entre dos valores sucesivos de lambda tiende al límite 4,6692016090... (conocido en adelante como constante de Feigenbaum) advirtiendo que las bifurcaciones implicaban una autosimilitud con una rapidez de convergencia independiente de la escala, un hecho significativo pues ese número aparece en contextos diferentes hasta el punto que se le considera una propiedad fundamental de determinados sistemas caóticos. ¿Por qué es importante este número?. Porque además de ser una constante universal (aparece en otras muchas funciones y contextos diferentes) nos permite predecir cuando se va a producir una bifurcación en una función (conociendo al menos los valores lambda de dos bifurcaciones consecutivas). Como dice el conocido divulgador y matemático británico Ian Stewart: “El número de Feigenbaum es aproximadamente 4,6692 y figura al lado de π (pi) como uno de esos números curiosos que parecen tener significado extraordinario tanto en matemáticas como en su relación con el mundo natural. El número de Feingebaum tiene también un símbolo: la letra griega δ (delta). El número π es una firma cuantitativa para algo que implique al círculo. En la misma forma, el número δ de Feingembaum es una firma cuantitativa para cualquier cascada de duplicación de períodos, no importa cómo es producida o como es realizada experimentalmente”. Curiosamente Feigenbaum llegó a ese número de forma accidental cuando estaba jugando con la ecuación logística en una calculadora programable. Una serendipidad más que añadir a la Historia de la Ciencia.

[5] Reconozco que este tipo de modelos matemáticos se entienden mejor si se practican mediante simulaciones con la ayuda de una hoja electrónica. A tal fin he trasladado a sendas hojas Excel la ecuación logística, la primera para realizar simulaciones con la ecuación logística y observar la evolución de la población en función del tiempo y la segunda para realizar simulaciones con el diagrama de bifurcación y observar los cambios en la población en función de los cambios en el parámetro lambda. A practicar pues: Ecuación Logística en Excel y Diagrama de Bifurcación en Excel



Para saber más: Web de Edward N. Lorenz en el MIT [inglés] y Edward N. Lorenz en Wikipedia [inglés]

Teoría del Caos en Wikipedia [inglés)

Efecto Mariposa en Wikipedia [inglés]

Robert May en Wikipedia [inglés]

Mitchell Jay Feigenbaum en Wikipedia [inglés]

Web de James Gleick [inglés]

Pierre François Verhulst en Wikipedia [inglés]

Atractor en Wikipedia [castellano]

Función Logística en Wikipedia [castellano]

Crecimiento Logístico en Wikipedia [castellano]

Capacidad de Persistencia en Wikipedia [castellano]

Entrevista a Eduald Carbonell [castellano]

7 comentarios:

Andres dijo...

Me parece un blog excelente. Especialmente por los enlaces que has puesto. Lo acabo de enlazar con mi blog. Espero puedas darte una visita por allí y si interesa puedes ver mi tesis doctoral que es una aplicación de los sistemas complejos a la economía. Sigue asi.
Mucha suerte y saludos
Andres

Carlos dijo...

No entiendo mucho de matemáticas pero quería preguntarle si el número de Feigenbaum serviría para predecir la secuencia de una serie numérica caótica o no.
Gracias.

José Monzó Marco dijo...

Muchas gracias Andrés. Interesante tu tesis doctoral. Tengo algo avanzado un post sobre Autoorganización en general y en economía en particular, algo basado en las ideas de Hayek, Schelling, Krugman, etc. seguro que extraigo ideas de tu excelente trabajo.

Un saludo,
Pepe M.

José Monzó Marco dijo...

Hola Carlos. Siento desilusionarte, pero la constante de Feigenbaum no sirve para pronosticar la trayectoria de una serie, algo de por sí complejo y ajeno al descubrimiento de Feigenbaum. Ahora bien, el número de Feigenbaum sí es útil para predecir en que valor de lambda (o mu según otros autores) se producirá una bifurcación en la trayectoria de la función, es decir una oscilación entre dos, cuatro, ocho, etc. valores.

Rafael dijo...

Saludos José M. tengo una pregunta.
¿cual es la limitacion mas importante para identificar un comportamiento caotico el?

José Monzó Marco dijo...

Hola Rafael, sin duda el mayor obstáculo para identificar comportamientos caóticos es el generalizado pensamiento lineal con el que nos desenvolvemos todos los días a todas horas.

Francisco Traver dijo...

Y como seria la curva de May entre poblacion/tiempo