¿Cuánto tiempo dura algo?. De la inecuación de Gott al efecto Lindy

El III Reich decía de sí mismo que iba a gobernar Alemania durante 1.000 años... apenas duró 12 años (1933-1945). El partido de la UCD en España decía de sí mismo que iba a gobernar durante 100 años... apenas duró 5 años (1977-1982). Al parecer los humanos somos muy buenos calculando la esperanza de vida de una persona en base a su sexo y edad mediante las tablas actuariales, pero un poco torpes para estimar la duración de otras cosas. ¿O no?.

Inecuación de Gott

Cuando el matemático y astrofísico John Richard Gott se encontraba ante el Muro de Berlín en 1969, intentó estimar la duración probable del Muro basándose en un solo dato, el tiempo transcurrido hasta ese momento, 8 años (1961-1969) y en base al principio atribuido a Copérnico (los humanos no somos observadores privilegiados del universo), re-elaborado posteriormente como “principio de mediocridad” que viene a decir que cualquier cosa seleccionada al azar que observemos en un momento determinado no estará ni al comienzo ni al final de su vida: lo más probable es que esté en algún punto alrededor de la mitad de su vida. Armado con esta presunción y un mínimo aparataje matemático, Gott se atrevió a calcular que con una fiabilidad del 50%, al Muro de Berlín le quedasen (en 1969) menos de 24 años de existencia (exactamente entre 2,67 y 24 años adicionales). Como ustedes saben, el Muro de Berlín fue derribado en 1989, es decir, veinte años después de la profecía matemática de Gott.

No obstante y tras este éxito, su argumento fue tildado de incompleto, así que lo volvió a someter a contraste empírico. En concreto, Gott elaboró una lista de los 44 espectáculos que había en la cartelera de Broadway un día determinado, el 17 de Mayo de 1993, y predijo que los que llevaban más tiempo en representándose serían los que durarían más tiempo en cartel, y viceversa. Su predicción se demostró correcta en un 95% de los casos.

El problema al que se enfrenta este tipo de predicciones, como la propuesta por Richard Gott o como la que veremos después con el llamado efecto Lindy, desafía el sentido común, pues al común de los mortales nos podría parecer insuficiente o temerario que con apenas el conocimiento de una variable (el tiempo transcurrido) y un coeficiente nos atrevamos a realizar la estimación de la duración de casi cualquier cosa. Ni que decir tiene que el problema tiene su enjundia a un nivel fundamental, pues no pasaría de ser un divertimento matemático si no fuera porque, a mi entender, el enfoque abordado por Gott revela algo profundo sobre nuestra manera de comprender la función de probabilidad en la duración de las creaciones humanas para entrar de lleno en el campo de la metamatemática.

Gráficamente el problema de la estimación de casi cualquier cosa se podría representar de este modo:

En donde partiendo de un único dato, el tiempo transcurrido desde el inicio de algo y el tiempo presente podemos estimar el tiempo adicional o restante de ese algo.

Un cálculo ciertamente atrevido.

El enfoque de Richard Gott está basado en la aplicación de la presunción copernicana antes comentada: el momento presente de la vida de ese algo no es excepcional, es decir, no está situado ni al inicio ni al final de la vida de ese algo, un principio que proviene del ámbito de la astronomía, pero que Gott se atrevió a aplicar al ámbito de lo cotidiano. Conociendo por tanto el tiempo transcurrido sólo nos resta aplicar un coeficiente, que en el caso de la inecuación Gott se conoce como factor de fiabilidad, que podríamos entender como probabilidad de la estimación, entendiendo que a menor probabilidad más error aunque menor variabilidad (mayor precisión) y a mayor probabilidad menor error aunque mayor variabilidad (menor precisión), entendiendo por variabilidad la diferencia entre la estimación mínima y la máxima. Nota: 100 - fiabilidad = probabilidad de error.

Otra manera de entenderlo sería que cuanta menos fiabilidad correspondería un rango de solución más estrecho (F < 50%), es decir, más precisión pero más probabilidad de error y cuanta más fiabilidad correspondería un rango de solución más amplio (F > 50%), es decir menos precisión aunque menos probabilidad de error. Una recomendación al operar con la fórmula propuesta por Richard Gott es comenzar usando una probabilidad del 50% que es justo la que solía utilizar su autor.

La conocida como inecuación de Gott es de una elegante sencillez.

Para operar con la inecuación de Gott podemos estimar casi cualquier cosa, preferentemente de carácter no orgánico (tecnología, conceptos, construcciones humanas, etc.) aunque a modo de curiosidad podemos calcular otras cosas menos típicas. Al final de este post incluyo una Hoja Excel para simular el funcionamiento tanto de la inecuación de Gott como el efecto Lindy, así como visualizar gráficos de sus resultados con distintos valores de los coeficientes (ejemplo de tiempo base: 10 años).

Como podemos observar a medida que incrementamos el factor de fiabilidad, el tiempo mínimo adicional tiende a cero y el tiempo máximo adicional tiende a infinito. De este modo podríamos afirmar que cuanta mayor fiabilidad queramos obtener, más amplio será el rango del resultado y viceversa, dándose una imposibilidad similar a la que encontramos en el principio de incertidumbre de Heisenberg: no podemos obtener a la vez la máxima precisión (menor variabilidad) y el mínimo error (mayor probabilidad de acierto): si no queremos cometer un error en el pronóstico deberemos sacrificar la precisión y viceversa. Ni que decir tiene que una fiabilidad del 100% implica, en consecuencia, un rango infinito de solución, por lo que en consecuencia nos conformaremos con fiabilidades algo menores para no hacer inservible el resultado. Lógicamente la inecuación de Gott no es algo infalible, es solamente una aproximación sencilla (aunque profunda) a un problema complejo partiendo de muy poca información.

Efecto Lindy

En esto que el 13 de Junio de 1964 se publicó un artículo en la revista estadounidense The New Republic en el que un tal Lindy escribió a propósito de la ajetreada vida de los actores cómicos: “Las expectativas de futuro de la carrera profesional de un actor cómico televisivo son proporcionales a la cantidad total de su presencia previa en el medio”. Este comentario, bastante intuitivo, escrito a vuela pluma y en la línea del conocido dicho El ganador se lo lleva todo vino en llamarse efecto Lindy, una heurística que autores como Benoît Mandelbrot y Nassim Nicholas Taleb han recogido en alguna de sus obras.

Siguiendo la interpretación del efecto Lindy en Taleb (Antifrágil): Para lo perecedero, cada día adicional de vida se traduce en una esperanza de vida adicional más corta. Para lo imperecedero, cada día adicional puede suponer una esperanza de vida más larga.

Así pues, cuanto más prolongada haya sido la supervivencia de una tecnología, un concepto o una construcción humana, mayor será el periodo de tiempo que podemos esperar que continúe existiendo. Como sugiere Taleb: Si un libro lleva publicándose cuarenta años, puedo confiar en que se sigan imprimiendo nuevas ediciones otros cuarenta años más. Otro ejemplo (tomado del estadístico John D Cook): Hemos escuchado a Beethoven durante más de doscientos años, a los Beatles durante cuatro décadas, y a Beyoncé durante aproximadamente una década, lo que implica que podríamos razonablemente esperar que la fama de Beyoncé dure aproximadamente otra década, mientras que los Beatles se puede esperar que mantengan su vigencia al menos otros cuarenta años, y que Beethoven permanezca sin caer en la oscuridad durante al menos doscientos años más.

Otro ejemplo, la gran pirámide de Guiza (2.570 años A.C.) es muy probable que sobreviva a muchas construcciones humanas del siglo XX o XXI, pues, de algún modo se puede afirmar con rotundidad que así como la pirámide ha demostrado que ha sobrevivido más de 4,5 mil años, otras cosas construidas durante el siglo XX o XXI aún tienen por demostrar esa durabilidad. Por tanto, hablando en términos de probabilidades, no de verdades absolutas, algo que se haya mantenido durante muchos años incrementa sus posibilidades de permanecer durante otros muchos. Y por el contrario, una obra o una tecnología es más vulnerable y susceptible de desaparecer durante sus primeros años de vida.

Por expresarlo de forma simple, esto nos dice que lo que lleva existiendo ya mucho tiempo no “envejece” como lo hacen las personas, sino a la inversa, es decir, sumándose tiempo restante de vida: cada año que pasa sin extinguirse, se duplica su esperanza de vida adicional de ese objeto, concepto o tecnología. Es decir, al contrario que en un ser vivo, en el que cuanto mayor es su tiempo de vida, menor es su expectativa de vida, en un producto informacional, un concepto, una construcción o una tecnología, cuanto más tiempo persiste, más probabilidades tiene de seguir persistiendo, y por tanto, la robustez es proporcional a la duración de su vida.

Como habrá podido deducir, el enfoque del efecto Lindy es distinto al de la inecuación de Gott, y a diferencia de este no ofrece un rango de solución (mínimo y máximo) y el coeficiente no se expresa como una probabilidad sino como un coeficiente de proporcionalidad que regula el espesor de la distribución, partiendo de la condición C > 1 (el resultado es una curva asíntota similar a la distribución de Pareto), de tal modo que para valores del coeficiente de proporcionalidad cercanos al valor 1, la expectativa de vida se eleva exponencialmente, mientras que a medida que se acerca al valor 2, la vida esperada se aproxima a la existencia pasada (con C = 2 la esperanza de vida es igual a la existencia previa) y a valores superiores a 2, la vida esperada se reduce con tendencia a cero.

Otra manera de entenderlo sería que para calcular la esperanza de vida de las cosas menos perecederas les correspondería un rango de valores con el coeficiente de proporcionalidad de 1 < C < 2 y para las cosas más perecederas les correspondería un rango con C > 2. Una recomendación al operar con la fórmula del efecto Lindy es aplicar un coeficiente próximo a 1 (hacia la izquierda de la tabla Excel adjunta) para aquellos entes u objetos con mayor antigüedad y un coeficiente próximo a 2 o superior (hacia la derecha) para los entes u objetos con menor antigüedad y observar el comportamiento del modelo en todo el rango 1 < C < 3.

La conocida como adaptación de Mandelbrot al efecto Lindy es también de una elegante sencillez.

Como podemos observar a medida que incrementamos el coeficiente de proporcionalidad, el tiempo adicional esperado tiende a cero y, viceversa, cuanto más próximo a 1 (pero nunca igual a 1) más elevado es el tiempo adicional esperado (algo en principio más probable en aquellas cosas con mayor antigüedad o menos perecederas). De este modo podríamos afirmar que cuanto más perecedero consideremos al objeto o ente en cuestión, más será de aplicación un coeficiente próximo a 2 o superior y cuanto menos perecedero más será de aplicación un coeficiente inferior a 2.

Como ya hice anteriormente con la ecuación logística y el modelo Lotka-Volterra para realizar simulaciones y observar el comportamiento del modelo nada mejor que un ejemplo basado en Excel. A practicar pues: Inecuación de Gott y Efecto Lindy en Excel

Para saber más: Principio de Mediocridad en Wikipedia

John Richard Gott en Wikipedia

El Argumento del juicio final

El efecto Lindy: cuanto más tiempo sobrevive una tecnología, más tiempo va a sobrevivir

The Lindy effect

Beethoven, Beatles, and Beyoncé: more on the Lindy effect